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<!DOCTYPE html>
<!--Converted with LaTeX2HTML 99.2beta6 (1.42)
original version by: Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds
* revised and updated by: Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan
* with significant contributions from:
Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others -->
<html>
<head>
<title>直接方法</title>
<meta charset="utf-8">
<meta name="description" content="直接方法">
<meta name="keywords" content="book, math, eigenvalue, eigenvector, linear algebra, sparse matrix">
<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/dist/katex.min.css" integrity="sha384-nB0miv6/jRmo5UMMR1wu3Gz6NLsoTkbqJghGIsx//Rlm+ZU03BU6SQNC66uf4l5+" crossorigin="anonymous">
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/dist/katex.min.js" integrity="sha384-7zkQWkzuo3B5mTepMUcHkMB5jZaolc2xDwL6VFqjFALcbeS9Ggm/Yr2r3Dy4lfFg" crossorigin="anonymous"></script>
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/dist/contrib/auto-render.min.js" integrity="sha384-43gviWU0YVjaDtb/GhzOouOXtZMP/7XUzwPTstBeZFe/+rCMvRwr4yROQP43s0Xk" crossorigin="anonymous"></script>
<script>
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var math_displays = document.getElementsByClassName("math-display");
for (var i = 0; i < math_displays.length; i++) {
katex.render(math_displays[i].textContent, math_displays[i], { displayMode: true, throwOnError: false });
}
var math_inlines = document.getElementsByClassName("math-inline");
for (var i = 0; i < math_inlines.length; i++) {
katex.render(math_inlines[i].textContent, math_inlines[i], { displayMode: false, throwOnError: false });
}
});
</script>
<style>
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<!--Navigation Panel-->
<a name="tex2html3230" href="node165.html">
<button class="navigate">下一节</button></a>
<a name="tex2html3224" href="node155.html">
<button class="navigate">上一级</button></a>
<a name="tex2html3218" href="node163.html">
<button class="navigate">上一节</button></a>
<a name="tex2html3226" href="node5.html">
<button class="navigate">目录</button></a>
<a name="tex2html3228" href="node422.html">
<button class="navigate">索引</button></a>
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<b>下一节：</b><a name="tex2html3231" href="node165.html">单向量和多向量迭代</a>
<b>上一级：</b><a name="tex2html3225" href="node155.html">广义厄米特征值问题</a>
<b>上一节：</b><a name="tex2html3219" href="node163.html">转换为标准问题</a>
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<!--End of Navigation Panel--><h1><a name="SECTION001430000000000000000"></a> <a name="sec:ghepdirect"></a>
<a name="17137"></a>
<a name="17138"></a>
<a name="17139"></a>
直接方法
</h1>
<p>
在本节中，我们将简要讨论计算稠密矩阵特征值和特征向量的方法。通过<span class="math-inline">B</span>的分解（参见<a href="node163.html#B_chol">5.4</a>），广义厄米特征值问题（GHEP，参见<a href="node156.html#gsymeig">5.1</a>）被转化为标准厄米特征值问题（参见<a href="node163.html#C_eigenvalues">5.5</a>）。随后，可以采用第§<a href="node93.html#sec:dense">4.2</a>节中讨论的直接方法。
<p>
具体来说，在LAPACK库（参见[<a href="node421.html#lapack">12</a>]）中，提供了以下驱动程序来解决<span class="math-inline">B</span>为正定矩阵的广义厄米特征值问题（GHEP，参见<a href="node156.html#gsymeig">5.1</a>）：
<ul>
<li>简单驱动程序xSYGV计算所有特征值和（可选）特征向量。其底层算法是QR算法；参见第§<a href="node93.html#sec:dense">4.2</a>节。
<a name="17149"></a>
</li>
<li>专家驱动程序xSYGVX计算所有或选定的部分特征值和（可选）特征向量。如果所需的特征值或特征向量数量较少，专家驱动程序比简单驱动程序更快。该驱动程序使用QR算法、二分法和逆迭代中更高效的方法。
<a name="17151"></a>
</li>
<li>分治驱动程序xSYGVD解决与简单驱动程序相同的问题。对于大型矩阵，它比简单驱动程序快得多，但需要更多的内存空间。名称“分治”指的是其底层分治算法；参见第§<a href="node93.html#sec:dense">4.2</a>节。
<a name="17154"></a>
</li>
</ul>
对这些方法的数值分析表明，如果<span class="math-inline">B</span>相对于求逆是病态的，即条件数<span class="math-inline">\kappa_2(B) = \Vert B\Vert _2\Vert B^{-1}\Vert _2</span>很大，这些方法可能会在数值上不稳定，并且在计算的特征值和特征向量中产生较大误差。目前还没有任何直接方法可以直接应用于保持<span class="math-inline">A</span>和<span class="math-inline">B</span>对称性的<span class="math-inline">A</span>和<span class="math-inline">B</span>。另一种方法是应用QZ算法（参见第§<a href="node282.html#sec:qzalg">8.2</a>节），但这将失去对称性。
<p>
<hr>
<!--Navigation Panel-->
<a name="tex2html3230" href="node165.html">
<button class="navigate">下一节</button></a>
<a name="tex2html3224" href="node155.html">
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<a name="tex2html3218" href="node163.html">
<button class="navigate">上一节</button></a>
<a name="tex2html3226" href="node5.html">
<button class="navigate">目录</button></a>
<a name="tex2html3228" href="node422.html">
<button class="navigate">索引</button></a>
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<b>下一节：</b><a name="tex2html3231" href="node165.html">单向量和多向量迭代</a>
<b>上一级：</b><a name="tex2html3225" href="node155.html">广义厄米特征值问题</a>
<b>上一节：</b><a name="tex2html3219" href="node163.html">转换为标准问题</a>
<!--End of Navigation Panel-->
<address>
Susan Blackford
2000-11-20
</address>
</body>
</html>