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%% Zahlenfolgen und Grenzwerte
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\section{Zahlenfolgen\formelbuchorange{18,469}}
\subsection{Einf"uhrung\formelbuchorange{18}}
\begin{minipage}[c]{5cm}
arithmetische Folge: \\
$a_1=c$ und $a_{n+1}=a_n+d$ \\
\\
geometrische Folge:\\
$a_1=c$ und $a_{n+1}=q*a_n$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{2.5cm}
$ $\\
$\underbrace{d=a_{n+1}-a_n}_{Differenz}$\\
$ $\\
$\underbrace{q=\frac{a_{n+1}}{a_n}}_{Quotient}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{10cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{4}{|c|}{Monotonie} \\
\hline
$d \geq 0$ & $q \geq 1$ & monoton wachsend & $\uparrow$\\
\hline
$d > 0$ & $q > 1$ & streng monoton wachsend & $\Uparrow$\\
\hline
$d \leq 0$ & $0 < q \leq 1$ & monoton fallend & $\downarrow$\\
\hline
$d < 0$ & $0 < q < 1$ & streng monoton fallend & $\Downarrow$\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\\
konstante Folge:\\
$a_1=c$ und $a_{n+1}=c$
\subsection{Beschr"anktheit\formelbuchorange{51,469}}
$\text{Beschr"ankt wenn }k\leq a_n\leq\text{ K, wobei k bzw. K die untere bzw. obere Schranke
ist}$
\subsubsection{Bolzano-Weierstrass}
Jede beschr"ankte und monotone Zahlenfolge ist konvergent.
\subsection{Grenzwerts"atze\formelbuchorange{470}}
\subsection{Grenzwerte von rekursiven Folgen}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item Hypothetischer Grenzwert ausrechnen \\[5pt]
\begin{minipage}[t]{4.5cm}
$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} = a $
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{12cm}
$\text{z.B.}\sqrt{a_n}+1=a_{n+1}\Rightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\;\sqrt{a}+1 = a$\\
$\Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\Rightarrow$ M"oglicher Grenzwert $\rightarrow$ wenn Folge beschr"ankt und monoton
\end{minipage}\\[5pt]
\item Beschr"anktheit mittels des hypothetischen Grenzwertes\\
$\Rightarrow$ mit vollst"andider Induktion beweisen (Auch mit Ungleichungen l"osbar)\\
\begin{minipage}[t]{20cm}
\begin{minipage}[t]{1cm}
z.B.
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5cm}
Induktionsanfang $A(1)$:\\
Induktionsschritt $A(n+1)$:\\
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{15cm}
$a_1 < \frac{3+\sqrt{5}}{2} < 3 \Rightarrow 1 < 3 $\\
$a_n < 3$ \hspace{5cm}$|\sqrt{...}\quad |+1$\\
$\underbrace{\sqrt{a_n}+1}_{a_{n+1}} < \sqrt{3}+1 < 3$\\
\end{minipage}
\end{minipage}
\item Monotonie annehmen (ev. erste Glieder berechnen)\\
$\Rightarrow$ mit vollst"andiger Induktion beweisen (Auch mit q/d-Kriterium oder Ungleichungen l"osbar)\\
\begin{minipage}[t]{20cm}
\begin{minipage}[t]{1cm}
z.B.
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5cm}
Induktionsanfang $A(1)$:\\
Induktionsschritt $A(n+1)$:\\
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{15cm}
$a_1 < a_2 \Rightarrow 1 < 2 $\\
$a_n < a_{n+1}$ \hspace{5cm}$|\sqrt{...}\quad |+1$\\
$\underbrace{\sqrt{a_n}+1}_{a_{n+1}} < \underbrace{\sqrt{a_{n+1}}+1}_{a_{n+2}}$\\
\end{minipage}
\end{minipage}
\item Grenzwert bestimmen\\
$\Rightarrow$ Aus 2. und 3. folgt das $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\rightarrow$ Da Folge nach oben beschr"ankt und streng monoton wachsend
\end{enumerate}
\subsection{$\varepsilon - n_0$ - Kriterium\formelbuchorange{470}}
$|a_n - a| < \varepsilon$ f"ur alle $n \geq n_0(\varepsilon)$
\end{flushleft}