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%% TODO: publish to CTAN
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type={CC},
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version={4.0},
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% Metadata
\course{Elektrotechnik}
\module{Elo1}
\semester{Herbstsemester 2022}
\authoremail{[email protected]}
\author{\textsl{Joël Leirer} -- \texttt{\theauthoremail}}
% did someone help you with this work?
\contributors{
% do not forget to add yourself!
}
\title{\texttt{\themodule} Zusammenfassung}
\date{\thesemester}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Document
\begin{document}
% use roman numberals for introductiory pages
\pagenumbering{roman}
\maketitle
% \begin{abstract}
% \end{abstract}
% show the names of the people who contributed to this document.
% \section*{Contributors}
% \thecontributors
\section*{Lizenz}
\doclicenseThis
\subsection*{Note}
Erlaubte Unterlagen an Prüfung: 5x A4-Blätter Zusammenfassung \\
Weitere Hilfsmittel: Taschenrechner
\clearpage
\tableofcontents
% actual content
\clearpage
\setcounter{page}{1}
\pagenumbering{arabic}
\section{Arbeitspunktbestimmung}
AC und DC Teile der Schaltung separat anschauen.
\begin{multicols}{2}
\subsection{DC}
\begin{itemize}
\item Grosssignalwiderstung ($\frac{U}{I}$)
\item AC-Quellen "Abschalten", AC-Quellen mit DC Anteil durch DC-Quellen ersetzen
\item Kondensatoren entfernen (Unterbruch)
\item Spule Kurschliessen
\end{itemize}
\subsection{AC}
\begin{itemize}
\item Kleinsignalwiderstand (Impedanz,$\frac{dU}{dI}$)
\item DC-Quellen "Abschalten"
\item Nichtlineare Bauteile durch ihre Kleinsignal Ersatzschaltung ersetzen
\item Kondensatoren $\to$ Widerstände $X_{jc}= \frac{1}{2\pi f C}$
\item Sperrdrosseln ("grossse" Induktivitäten) entfernen (Unterbruch)
\end{itemize}
\end{multicols}
\includegraphics[width = 15cm]{img/Tabelle Kleinsignal Ersatzschaltung.png}
\newpage
\section{OpAmp}
\subsection{Schaltungen mit negativer Rückkopplung}
\begingroup
\small
\begin{tabularx}{0.8\textwidth}{p{155pt}p{155pt}p{155pt}}
\textbf{Nicht Invertierender Verstärker} &
\textbf{Invertierender Verstärker} &
\textbf{Summierender Verstärker} \\
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Verstaerker_nicht_invertierend.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Verstaerker_invertierend.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Verstaerker_summierend.png} \\
$ V_{out} = V_{in} \cdot (1 + \frac{R_F}{R_1})$ &
$ V_{out} = V_{RF} = -\frac{RF}{R_1}\cdot V_{in}$ &
$ V_{out} = RF \cdot I_2 = -RF \cdot (\frac{V_{in1}}{R_1} + \frac{V_{in0}}{R_0}) $ \\
\\
\textbf{Buffer} &
\textbf{Invertierender Addierer} &
\textbf{Gewichteter Subtrahierer} \\
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Buffer.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Invertierender_Addierer.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Gewichteter_Subtrahierer.png} \\
$ V_{out} = V_{in}$ &
$ V_{out} = - RF \cdot (\frac{V_{in1}}{R_1} + \frac{V_{in2}}{R_2}) $ &
\resizebox{140pt}{!}
{
$ V_{out} =\frac{R_3}{R_3 + R_2} \cdot (1 + \frac{R_F}{R_1}) \cdot V_{in2} - \frac{R_F}{R_1} \cdot V_{in2}$
} \\
\\
\textbf{Differenzverstärker} &
\textbf{Instrumentenverstärker} &
\textbf{Mehrstufige Verstärker} \\
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Differenzverstärker.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Instrumentenverstärker.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Mehrstufige_Verstärker.png} \\
\resizebox{140pt}{!}
{
$ V_{out} = \frac{R_3 + R_4}{R_3} \cdot (\frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot V_{AGND} + \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot V_{in1}) - \cdot \frac{R_4}{R_3} \cdot V_{in2}$
}
\resizebox{100pt}{!}
{
\newline wenn $\frac{R_4}{R_3} = \frac{R_2}{R_1} \rightarrow V_{out} =\frac{R_4}{R_3} \cdot (V_{in1}-V_{in2})$
} &
\resizebox{140pt}{!}
{
$ V_{out} = V_{ref} + \frac{R_4}{R_3} \cdot (1 + \frac{Rf1 + Rf2}{RG}) \cdot (V_{in2} - V_{in1})$
} &
Verstärkung total $ A_{tot} = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3\cdot\dots$ \\
\\
\textbf{Invertierender Verstärker \newline
mit T-Glied in Rückkopplung} &
\textbf{Negativer Impedanz Konverter NIC} \\
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Invertierender_Verstärker_mit_T-Glied_Rückkopplung.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Negativer_Impedanz_Verstärker.png} \\
$ V_{out} = - V_{in} \cdot \frac{R_2 + R_3 + \frac{R_2R_3}{R4}}{R_1} $
\newline
$ V_{out} = V_{in} \cdot (1+ \frac{R_2}{R_1})$ &
$R_{EQ} = -R \cdot \frac{R_1}{R_2}$
\\
\end{tabularx}
\endgroup
\subsubsection{Gesteuerte Quellen}
\begingroup
\small
\begin{tabularx}{0.8\textwidth}{p{100pt}p{100pt}p{100pt}p{120pt}}
\textbf{Spannungsgesteuerte \newline Stromquelle V1} &
\textbf{Spannungsgesteuerte \newline Stromquelle V2} &
\textbf{Spannungsgesteuerte \newline Stromquelle \newline
für geerdete Last RL} &
\textbf{Stromgesteuerte \newline Stromquelle} \\
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Spannungsgesteuerte_Stromquelle_V1.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Spannungsgesteuerte_Stromquelle_V2.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Spannungsgesteuerte_Stromquelle_geerdete_Last.png} &
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/OpAmp/Stromgesteuerte_Stromquelle.png} \\
$ I_L = \frac{V_{in}}{R_1} $ &
$ I_L = \frac{V_{in}}{R_S} $ &
$ I_L = \frac{V_{in}}{R_1} $ &
$ R_1I_1=R_2I_2; \; A_i = \frac{I_2}{I_1} = \frac{R_1}{R_2} $
\end{tabularx}
\endgroup
\subsubsection{Filterschaltungen}
\begingroup
\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{p{155pt}p{155pt}p{155pt}}
\textbf{RC-Integrator} &
\textbf{Differenzierer} &
\textbf{Tiefpass-Filter} \\
\includegraphics[width=3.5cm]{img/OpAmp/RC-Integrator.png} &
\includegraphics[width=3.5cm]{img/OpAmp/Differenzierer.png} &
\includegraphics[width=3.5cm]{img/OpAmp/TiefpassFilter.png} \\
$V_{out}(t) = -\frac{1}{C} \int \limits _0 ^t i_c(\tau) d\tau + V_c(t=0)$
\newline $V_{out}(t) = -\frac{1}{R \cdot C} \int \limits _0 ^t V_{in}(\tau) d\tau + V_c(t=0)$ &
$V_{out} = -R_FC_1\frac{dv_{in}}{dt}$
\newline $i_c = C_1\frac{dv_c}{dt} = C_1\frac{dv_{in}}{dt} $ &
Grenzfrequenz: $\frac{1}{2\pi R C} $
\newline DC: $I_C = 0; \; V_{out} = -\frac{Rf}{R1}\cdot V_{in}$ \\
\textbf{Bandpass-Filter} &
\textbf{Allpass-Filter} &
\\
\includegraphics[width=3.5cm]{img/OpAmp/BandPass.png} &
\includegraphics[width=3.5cm]{img/OpAmp/AllPass.png} &
\\
$\omega_1 = \frac{1}{R_1\cdot C_1}$
$\omega_2 = \frac{1}{R_F \cdot C_F}$
\end{tabularx}
\endgroup
\begin{multicols}{2}
\subsection{OpAmp als Komparator}
\includegraphics[width=3cm]{img/OpAmp/Komparator.png}\\
$V_{out} = V_{mitte} = \frac{V_{pos} + V_{neg}}{2}$
\subsubsection*{Schmitt-Trigger (nicht invertierend)}
\includegraphics[width=3cm]{img/OpAmp/Schmitt-Trigger_nicht_invertierend.png}
$V_{T_+} = V_{ref} + (V_{ref} - V_{out min})\frac{R_1}{R_F} $ \\
$V_{T_-} = V_{ref} + (V_{out max} - V_{ref})\frac{R_1}{R_F} $\\
$V_H = V_{T_+} - V_{T_-} = (V_{outmax} - V_{outmin})\frac{R_1}{R_F}$
\subsubsection*{Schmitt Trigger (invertierend)}
\includegraphics[width=4cm]{img/OpAmp/Schmitt-Trigger_invertierend.png}\\
$V_{T_+} = V_{ref} + (V_{out max} - V_{ref})\frac{R_1}{R_1 + R_F} $ \\
$V_{T_-} = V_{ref} + (V_{ref} - V_{out min})\frac{R_1}{R_1 + R_F} $\\
$V_H = V_{T_+} - V_{T_-} = (V_{outmax} - V_{outmin})\frac{R_1}{R_1+R_F}$
\end{multicols}
\subsection{Nicht ideale OpAmps}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\small
\subsubsection*{Offset-Spannung \& Begrenzte Verstärkung}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item \textbf{Buffer}: \\
\includegraphics[width = 0.6 \textwidth]{img/OpAmp/NichtIdeal/Buffer.png}
\\ $V_{out} = A_{ol} \cdot [(V_{in}+V_{os}) - V_{out}]$
\\ $[A_{ol}\gg 1$ : $V_{out} = V_{in} + V_{os}]$
\item \textbf{Verstärker}: \\
\includegraphics[width = 0.6\textwidth]{img/OpAmp/NichtIdeal/verstärker.png}
\\ $V_{out} = \frac{A_{ol}}{1+A_{ol}\cdot\frac{R_1}{R_1+R_2}}\cdot(V_{in}+V_{os}) $
\\ $[A_{ol}\gg 1$: $V_{out} = \frac{R_1+R_2}{R_1}\cdot(V_{in}+V_{os})]$
\item \textbf{Invertierender Verstärker}: \\
\includegraphics[width = 0.6\textwidth]{img/OpAmp/NichtIdeal/invverstärker.png}
\\ $V_{out} = \frac{A_{ol}}{1+A_{ol}\cdot\frac{R_1}{R_1+R_2}}\cdot[(V_{AGND} + V_{os})-V_{in}\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}]$
\\ $[A_{ol}\gg 1$: $V_{out} = \frac{R_1 + R_2}{R_1}\cdot(V_{AGND}+V_{os})-\frac{R_2}{R_1}\cdot V_{in}]$
\item \textbf{Allgemein}: \\
$V_{out} = \frac{R1 + R2}{R1}\cdot(V_{agnd}+R_{os})-\frac{R2}{R1}\cdot V_{in}$
\\ $V_{out-E-total} = A_{CL+} \cdot(|V_{os}| + \frac{|V_CM|}{CMRR} + \frac{|\Delta V_{Supply}|}{PSRR}) + |I_{OS}| \cdot R_F$
\end{itemize}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{itemize}
\item \textbf{Power Supply Rejection Ratio $PSRR$}
\\ Unterdrückung der Beeinflussung durch \\ schwankende Speisespannung
\\ $PSRR_{lin} = \frac{dV_{supply}}{dV_{os}}$
\item \textbf{Common Mode Rejection Ratio $CMRR$}
\\ Unterdrückung der Beeinflussung durch \\ schwankende Eingangsspannung
\\ $V_{CM} = V_{opp} = V_{opn} \rightarrow CMRR_{lin} = \frac{dV_{CM}}{dV_{os}}$
\end{itemize}
\subsubsection*{Bias-Strom}
\includegraphics[height=3.5cm]{img/OpAmp/Fehler_Eingangsstrom.png}
\\ \tiny{Rechnung mit Superposition:}\\
$V_{out E} = I_NR_F-R_2I_P(\frac{R_F+R_1}{R_1}) $\\
\textbf{Offset-Strom}
$V_{out E} = R_F\cdot(I_N-I_P) = R_F\cdot I_{OS}$
\subsubsection*{Einganswiderstände}
\includegraphics[height=3.5cm]{img/OpAmp/Fehler_Eingangswiderstand.png}\\
\end{minipage}
\section{Digital-/Analogwandler (DAC)}
\begingroup
\scriptsize
\subsubsection*{Wägeverfahren}
\begin{tabularx}{\textwidth}{p{0.25\textwidth}p{0.25\textwidth}
p{0.25\textwidth}p{0.25\textwidth}}
\textbf{Spannung} &
\textbf{Strom} &
\textbf{Kapazität} &
\textbf{R-2R}
\\ \includegraphics[width = 3cm]{img/DAC/Wägeverfahren.png}
&
\raisebox{0.5\height}{\includegraphics[width = 3cm]{img/DAC/Wägeverfahren_Ströme.png}}
&
\raisebox{0.5\height}{\includegraphics[width = 3cm]{img/DAC/C-DAC.png}}
&
\raisebox{0.5\height}{\includegraphics[width = 3cm]{img/DAC/R-2R-DAC.png}}
\\
&
&
\resizebox{0.25\textwidth}{!}{
$V_{out} = (C_x) \cdot (V_{ref1} - V_{ref2} +) V_{ref2} $}
\resizebox{0.25\textwidth}{!}{
$Q_{CFB} = Q(C_x) = C_x \cdot (V_{ref1} - V_{ref2} + V_{ref2}) $}
\resizebox{0.25\textwidth}{!}{
$C_x = C_1 + C_2 \dots$
(Alle aktiven Kapizitäten)}
&
\scriptsize
Jedes Bit leistet Beitrag:
\newline 1. Bit $\frac{1}{2}$, 2. Bit $\frac{1}{4}$
\newline n. Bit $\frac{1}{2^n} \Rightarrow V_{out} = \frac{X}{2^n}\cdot V_{ref}$
\normalsize
\end{tabularx}
\endgroup
\subsection*{Weitere Verfahren}
\begingroup
\scriptsize
\begin{tabularx}{\textwidth}{p{0.33\textwidth}p{0.33\textwidth}p{0.33\textwidth}}
\textbf{Parallelverfahren}
&
\textbf{Zählverfahren (PWM)}
&
\textbf{Kaskadiert}
\\
\includegraphics[height = 4cm,angle=90]{img/DAC/Parallelverfahren.png}
&
\includegraphics[width = 4cm]{img/DAC/DAC_mit_Zählverfahren.png}
\includegraphics[width = 4cm]{img/DAC/PWM.png}
&
\includegraphics[width = 4cm]{img/DAC/Kaskadierte_Wandler.png}
\\ %ParallelDac
$V_{Ideal}(D) = \frac{D}{2^n} \cdot (V_{refp} - V_{refn} + V_{refn})$
\newline
\resizebox{0.33\textwidth}{!}{$V_{Real}(D) = \frac{\frac{D \cdot R_0 \cdot R_L}{D \cdot R_0 + R_L}}
{(n-D) \cdot R_0 + \frac{D \cdot R_0 \cdot R_L}{D \cdot R_0 + R_L}} \cdot (V_{refp} - V_{refn}) $}
\newline $q= \frac{1}{2^n} (V_{refp}-V_{refn})$
&
$\bar{V_{out} = V_{ref} \cdot \frac{n}{N}}$
\newline
{\tiny Geglättete Ausgangsspannung ergibt DC}
&
\\[20pt]
\textbf{Zyklisch}
&
\textbf{Pipelined}
&
\textbf{Exponentiell}
\\
\raisebox{-\height}{\includegraphics[width = 5cm]{img/DAC/Zyklischer_DAC.png}}
&
\raisebox{-\height}{\includegraphics[width = 6cm]{img/DAC/Pipelined_DAC.png}}
&
\raisebox{-\height}{\includegraphics[height = 4cm,angle=90,origin=c]{img/DAC/Exponentieller_DAC.png}}
\end{tabularx}
\endgroup
\subsubsection*{Fehler}
\begingroup
\small
\begin{tabularx}{\textwidth}{p{0.2\textwidth}p{0.2\textwidth}p{0.2\textwidth}p{0.2\textwidth}p{0.2\textwidth}}
\textbf{Offset}
&
\textbf{Verstärkungsfehler}
&
\textbf{Integrale \newline Nichtlinearität}
&
\textbf{Differentielle Nichtlinearität}
&
\textbf{Verzögerungszeit}
\\
\includegraphics[width = 2cm]{img/DAC/Fehler/Offset.png}
&
\includegraphics[width = 2cm]{img/DAC/Fehler/Verstärkung.png}
&
\includegraphics[width = 2cm]{img/DAC/Fehler/IntegraleNichtlinearität.png}
&
\includegraphics[width = 2cm]{img/DAC/Fehler/DifferentielleNichtlinearität.png}
&
\includegraphics[width = 2cm]{img/DAC/Fehler/Verzögerungszeit.png}
\end{tabularx}
\endgroup
\section{Analog-Digital Wandler (ADC)}
\begin{tabular}{p{0.3\textwidth}p{0.3\textwidth}p{0.3\textwidth}}
\textbf{Parallelverfahren}
\newline \includegraphics[width=0.2\textwidth,]{img/ADC/Parallel-Verfahren.png}
\newline Pipeline-ADC
\newline
{\tiny Mit jeder Stufe wird ein Bit bestimmt}
\newline\includegraphics[width=0.3\textwidth]{img/ADC/Pipeline.png}
Iterativer ADC
\newline \includegraphics[width=0.3\textwidth]{img/ADC/IterativerADC.png}
&
\textbf{Wägeverfahren}
\newline Succsessive Approximation Register (SAR)
\newline\includegraphics[width=0.3\textwidth]{img/ADC/Wägeverfahren.png}
{\tiny
\newline 1. Sample Mode,
\newline C werden auf $V_{in}$ geladen
\newline 2. Holde Mode,
\newline C werden auf Ground gelegt
\newline $\Rightarrow V_x = -V_{in}$
\newline 3. Redistribution Mode,
\newline Schalter schliessen nacheinander
\newline C bilden Spannungsteiler
\newline $\Rightarrow V_x = -V_{in} + \frac{V_{ref}}{2} + \frac{V_{ref}}{4} \dots$
\newline Wenn $V_x \leq 0\rightarrow \textrm{Bit} = 0$
\newline Wenn $V_x > 0 \rightarrow \textrm{Bit} = 1$
}
&
\textbf{Zählverfahren}
\newline Single Slope Wandler
\newline $V_{int}(t) = \frac{-V_{in}}{R\cdot C}\cdot t$
\newline $V_{in} = \frac{V_{ref} \cdot R \cdot C}{T_{int}}$
\newline\includegraphics[width=0.3\textwidth]{img/ADC/SingleSlopeWandler.png}
\newline Dual Slope Wandler
\newline $V_{int} = \int \limits ^{T_{int}} _0 -\frac{V_{in1}\cdot dt}{R_i \cdot C_i}$
\newline $V_{int,max} = -\frac{\overline{V_{in}}\cdot T_{int}}{R_i \cdot C_i}$
\newline $V_{int}(t) = V_{int,max}-\frac{V_{ref} \cdot t}{R_i \cdot C_i}$
\newline $t_{abint} = -\frac{V_{in1}\cdot T_{int}}{V_{ref}}$
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{img/ADC/DualSlopeWandler.png}
\end{tabular}
\subsection{Fehler von ADC's}
\begin{tabularx}{\textwidth}{p{0.32\textwidth}p{0.32\textwidth}p{0.32\textwidth}}
\textbf{Offset}
&
\textbf{Verstärkung-\newline Fehler}
&
\textbf{Integrale \newline Nichtlinearität}
\\
\includegraphics[width = 3.2cm]{img/ADC/OffsetFehler.png}
&
\includegraphics[width = 3.2cm]{img/ADC/Verstärkung.png}
&
\includegraphics[width = 3.2cm]{img/ADC/IntegraleNichtlinearität.png}
\\
\textbf{Differentielle Nichtlinearität}
&
\textbf{Quantisierung}
&
\textbf{Aliasing}
\\
\includegraphics[width = 3.2cm]{img/ADC/DifferentielleNichtlinearität.png}
&
\includegraphics[width = 3.2cm]{img/ADC/Quantisierungsfehler.png}
&
\includegraphics[width = 3.2cm]{img/ADC/Aliasing.png}
\end{tabularx}
\normalsize
\section{Halbleiter}
\subsection{Einführung}
\begin{multicols}{2}
\subsubsection*{Elektrische Leitfähigkeit und Widerstand}
$\kappa = \frac{1}{\rho} = n \cdot q \cdot \mu$
\\$R = \rho \cdot \frac{l}{A} = \frac{l}{\kappa \cdot A} $
{\\ \tiny \begin{itemize}[leftmargin=*]
\item $\kappa$: Spezifische Leitfähigkeit
\item $\rho$: Spezifischer Widerstand
\item $n$: Ladungsträgerdichte
\item $q$: Elementarladung
\item $l$: Leiterlänge
\item $A$: leiterquerschnittsfläche
\end{itemize}}
\subsubsection*{Temperaturabhängigkeit}
$\rho = f(T)$
\newline {\tiny annäherung 1. Ordnung:}
\newline$\rho(T) = \rho(T_0) \cdot (1+ \alpha(T-T_0))$
{\newline \tiny Tabelle im Anhang.}
\subsubsection{Dotierung}
{\tiny P-Dotiert: 3 Wertiges Element wird eingesetzt --> Löcher}
\newline
{\tiny N-Dotiert: 5 Wertiges Element wird eingesetzt --> Freie Elektronen}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\subsection{Dioden}
\includegraphics[width = 2cm]{img/Halbleiter/DifferenziellDiode.png}
\includegraphics[width = 2cm]{img/Halbleiter/TemperaturkurvenDiode.png}
{\tiny \begin{itemize}[leftmargin=*]
\item $I_s$: Sättigungsstrom
\item $n$: Emissionskoeffizient
\item $I_D$: Diodenstrom ($A_{+} \rightarrow K_{-}$)
\item $V_T$: Thermospannung bei Raumtemp. (25mV)
\item $k$: Boltzmann Konstante
\item $q$: Elementarladung
\item $g$: Leitwert ($\frac{1}{R}$)
\end{itemize}}
\includegraphics[width = 3cm]{img/Halbleiter/Diode.png}
\newline $V_T=\frac{kT}{q}$
\newline $g = \frac{dl}{dV}
= \frac{1}{n \cdot V_T} \cdot I_s \cdot e^{\frac{V}{n\cdot V_T}}
= \frac{I}{n \cdot V_T}$
\newline $I_d =I_s(e^{\frac{V_D}{nV_T}}-1)$
\newline wenn $V_d > 200$mV: $I_d = I_s \cdot e^{\frac{V_d}{n \cdot V_t}}$
\subsubsection*{DC-Ersatzschaltung (mit Vorwiderstand)}
\includegraphics[width = 3cm]{img/Halbleiter/DCErsatzschaltungDiode.png}
\small
\newline$V_D = V_{D0} + (V_{src} - V_{D0} \cdot (\frac{R_D}{R_D + R1}))$
\newline $R_D = \frac{\Delta U_D}{\Delta I_D}$
\newline $V_{D0} =$ Schnittpunkt Linearisierung (Siehe Bild links)
\normalsize
\end{multicols}
\newpage
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\subsection{Bipolar-Transistor}
$$I_E = I_C+I_B$$
$$I_C = B\cdot I_B \approx \beta \cdot i_B$$
$$I_B= I_s \cdot(e^{\frac{V_{BE}}{n \cdot V_T}}-1) \approx I_s e^{\frac{V_{BE}}{n \cdot V_T}}$$
$$r_{BE} = \frac{\partial V_{BE}}{\partial I_B} \approx \frac{n \cdot V_T}{I_{B0}} $$
{\tiny \begin{itemize}[leftmargin=*]
\item C = Collector, E = Emitter, B = Basis
\item $V_T$: Thermospannung bei Raumtemp. (25mV)
\item $I_s$: Sättigungsstrom
\item $n$: Emissionskoeffizient
\item $B$: Gleichstrom-Verstärkungsfaktor
\item $\beta$: Wechselstrom-Verstärkungsfaktor
\item Wird $V_{BE}$ um etwa 20mV erhöht verdoppelt sich $I_C$
\end{itemize}}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\subsubsection{Grundschaltungen einstufiger Verstärker}
\begin{tabular}{p{3.51cm}p{3.51cm}}
\textbf{Emitterschaltung} &
\textbf{Basisschaltung} \\
\raisebox{-\height}{\includegraphics[width = 3cm]{img/Transistor/Emitterschaltung.png}} &
\raisebox{-\height}{\includegraphics[width = 3cm]{img/Transistor/Basisschaltung.png}} \\
\textbf{Kollektorschaltung} \\
\raisebox{-\height}{\includegraphics[width = 3cm]{img/Transistor/Kollektorschaltung.png}} &
Verstärkungen: \newline
E: $\frac{I_C}{I_E} $ \newline
B: $\frac{I_C}{I_B} $ \newline
K: $\frac{I_E}{I_B} $
\\
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\subsection{Emitterschaltung}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item Für kleinere Toleranz: Emitterwiderstand einfügen
\end{itemize}
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/Transistor/Verstärkung_Emitterschaltung.png}
\includegraphics[width = 3.5cm]{img/Transistor/Uebertragungskennlinie.png}
\subsubsection*{Grafische Herleitung Übertragungskennlinie}
\begin{enumerate}
\item $V_{BE} = V_{in}$
\item Kein Ausgansstrom
\\ $\rightarrow I_C = I_{RC} = \frac{V_{POS} - V_{out}}{R_C}$
\item Kennlinie von $R_C$ einzeichnen
\item Schnittpunkte sind mögliche Arbeitspunkte
\end{enumerate}
\subsubsection*{Berechnet}
$$I_{RC} = \frac{V_{POS} - V_{out}}{R_C} = I_C = I_S \cdot \beta \cdot e^{\frac{V_{in}}{n \cdot V_T}}$$
$$V_{out} = V_{POS}-R_C \cdot I_S \cdot \beta \cdot e^{\frac{V_{in}}{n \cdot V_T}}$$
{\\ \tiny git für $V_{CE-sat} < V_{out} < V_{POS}$}
\subsubsection*{Verstärkung}
$$V_{out} = V_{POS} - R_C \cdot \beta \cdot I_S \cdot e^{\frac{V_{in}}{n \cdot V_T}}$$
Verstärkung = Ableitung $\frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}}$
$$\frac{\partial V_{out}}{\partial V_{in}} =- R_C \cdot \beta \cdot I_S \cdot e^{\frac{V_{in}}{n \cdot V_T}} = \frac{-R_C \cdot I_C}{n \cdot V_T} $$
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\includegraphics[width = 0.5\textwidth]{img/Transistor/VerstärkerMitArbeitspunktanpassung.png}
$$IB_0 = \frac{IC_0}{\beta}$$
{\small ohne Bias-Strom (Strom durch R2)}
$$V_{B0} = V_{POS} \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$
{\small mit Bias-Strom}
$$V_B = \frac{R_2 \cdot V_{POS} - I_{B0} \cdot R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$$
{\small Kleinsignal Verstärkung}
$$A = -gm \cdot R_C = -\frac{I_{C0}}{n\cdot V_T}\cdot R_C$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\subsection{Basisschaltung}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item Bassisspannung Konstant
\item Verwendung zur Stromsummierung
\end{itemize}
\includegraphics[width = 0.5\textwidth]{img/Transistor/Basisschaltung2.png}
$$V_{out} = V_{POS} - R_C \cdot (\frac{V_E}{R_E} - \frac{\Delta V_{in}}{R_{in}}) = V_{out0} + \Delta V_{in} \frac{R_C}{R_{in}}$$
$$\Delta I_{in} = \frac{\Delta V_{in}}{R_{in}} = \textrm{Wechselspannungssignal}$$
$$\Delta V_{out} = \Delta I_{C} \cdot R_C = \Delta V_in \cdot \frac{R_C}{R_E}$$
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\subsection{Kollektorschaltung (Emitterfolger)}
\begin{itemize}[leftmargin=*]
\item Basis ist Eingang, Emitter is Ausgang
\item Doppelter Strom wenn $\Delta B_{BE}$ ca. 20mV
\item Spannungsverstärkung ~1
\end{itemize}
\includegraphics[width = 0.5\textwidth]{img/Transistor/Emitterschaltung2.png} %Bild falsch benannt!
$$IC = \beta \cdot I_S \cdot e^{\frac{V_{BE}}{n \cdot V_T}}$$
$$V_{out} = V_{in} - V_{BE} \approx V_{in} - 0.7V$$
\end{minipage}%
\subsection*{Modellierung von Transistoren}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\subsubsection*{VBE = VCE}
\includegraphics[height = 50pt]{img/Transistor/VBEgleichVCETransistor.png}
\includegraphics[height = 50pt]{img/Transistor/VBEgleichVCEErsatz.png}
$R_{BE} = \frac{n \cdot V_T}{I_{B0}}$
\subsubsection*{Ebers-Moll-Modell}
\includegraphics[width = 0.8\textwidth]{img/Transistor/EbersMollModell.png}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\subsubsection*{Kleinsignal-Modelle}
\includegraphics[width = 0.8\textwidth]{img/Transistor/KleinsignalModell.png}
$$r_{BE} = \frac{n \cdot V_T}{I_{B0}}$$
$$\beta \cdot I_B = gm \cdot V_{BE} = \frac{\beta \cdot V_{BE}}{R_{BE}} = \frac{I_C\cdot V_{BE}}{n \cdot V_T}$$
$$R_{CE} = \frac{V_A}{IC}$$
\end{minipage}%
\subsection*{Widlar Stromspiegel}
\includegraphics[width = 0.25\textwidth]{img/Transistor/Widlar.png}
\\$I_{out} = I_{in}$
\\bzw.
\\$I_{out} = I_{in} \cdot \frac{R_{E1}}{R_{E2}}$
\subsection{Leistungsverstärker / Ausgangsstufen}
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\subsection*{Class A}
\includegraphics[width = 0.5\textwidth]{img/Verstärker/ClassAVerstärker.png}
$$\eta_{max} = \frac{P_{AC,max}}{P_{DC}} = 0.25\%$$
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\subsection*{Class B}
\includegraphics[width = 0.5\textwidth]{img/Verstärker/ClassBVerstärker.png}
$$\eta_{max} = \frac{P_{AC,max}}{P_{DC}} = \frac{\pi}{4} \approx 78.5\%$$
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\subsection*{Class AB}
\includegraphics[width = 0.5\textwidth]{img/Verstärker/ClassABVerstärker.png}
$$\eta \textrm{ kann nicht allgemein bestimmt werden.}$$
\end{minipage}%
\section*{Tabellen}
\textbf{Betriebszustände Transistor:}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$U_{BE}$ & $U_{BC}$ & Betriebszustände & Einsatzgebiete \\
\hline
$>0$ & $<0$ & aktiv normal & Verstärker \\
\hline
$<0$ & $>0$ & aktiv invers & - \\
\hline
$<0$ & $<0$ & gesperrt & Schalter, Zustand: AUS \\
\hline
$>0$ & $>0$ & übersteuert & Schalter, Zustand: EIN \\
\hline
\end{tabular}
\\
\noindent \textbf{Eigenschaften typischer Stoffe:}\\
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
Material & $\rho_{20}$ in $\frac{\Omega mm^2}{m}$ & $\alpha_{20}$ in $\frac{1}{K}$ \\[3pt]
\hline
Silber & 0.016 & $3.8 \cdot 10^{-3}$ \\[3pt]
\rowcolor[gray]{.9}
Kupfer & 0.0178 & $3.92 \cdot 10^{-3}$ \\[3pt]
Gold & 0.023 & $4 \cdot 10^{-3}$ \\[3pt]
\rowcolor[gray]{.9}
Aluminium & 0.028 & $3.77 \cdot 10^{-3}$ \\[3pt]
Konstantan & 0.43 & $\pm 40 \cdot 10^{-6}$ \\[3pt]
\rowcolor[gray]{.9}
Silizium & $6.25 \cdot 10^6$ & $-1\cdot 10^{-3} $ \\[3pt]
Germanium & $0.454 \cdot 10^6$ & $-5\cdot 10^{-3} $ \\[3pt]
\rowcolor[gray]{.9}
Porzellan & $5 \cdot 10^18$ & - \\[3pt]
\hline
\end{tabular}
\\
\noindent \textbf{Konstanten:} \\
\begin{tabular}{|lcl|}
\hline
Boltzmann Konstante & $k$ & $1.381 \cdot 10^{-23}$Ws/K \\[2pt]
\rowcolor[gray]{.9}
Elementarladung & $q$ & $1.602 \cdot 10^{-19}$As \\[2pt]
Temparatur & $^\circ C$ & $273.15$ K \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}