GGD - Gradational Gaussian Distribution これは Gradational Gaussian Distribution (GGD; グラデーションガウス分布 あるいは 傾斜ガウス分布) (作者が勝手に命名)
のリファレンスクラスの R パッケージです。
GGD によって度数分布を近似したり、分位点をトレースすることができます。
English
Gradational Gaussian Distribution とは GGD は主として単峰性の、正規分布に従わない分布をターゲットとした連続分布モデルです。
$\log$ 変換を用いずに、左右に歪んだ分布、裾の重い分布、頂点が扁平な分布などを表すことができます。
GGD は正規分布 (ガウス分布) の混合分布モデルの一種ですが、
いわゆる 混合ガウス分布 (Gaussian Mixture Model; GMM) 、すなわち、正規分布の一次結合で表されるモデルではなく、
X軸方向やY軸方向に沿って、正規分布の混合比率を徐々に変化させた分布モデルです。
なお、正規分布の関数の畳み込みではありません。
GGD はデータが正規分布に従わないとき、その原因が、離散的なパラメータによるものではなく、
何か連続的なパラメータによる場合に適用できるだろうと、パッケージ作者の私は考えています。
水平 (横方向) グラデーション分布 (Horizontal Gradational Distribution) 水平 (横方向) グラデーション分布 (Horizontal Gradational Distribution) は
2つの正規分布の混合比がX軸に沿って徐々に変化する分布モデルです。
左右に歪んだ分布を表すのに適しています。
水平 (横方向) グラデーション分布を $\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \rightarrow \mathcal{N}_2]$ のように書くことにします。
この記号はX座標が $-\infty$ から $\infty$ に向かうにつれて、確率密度関数の形状が
正規分布 $\mathcal{N}_1$ のものから正規分布 $\mathcal{N}_2$ のものに徐々に変化することを意味します。
一般に、 $\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \rightarrow \mathcal{N}_2]$ は
$$
\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \rightarrow \mathcal{N}_2] =
h_1(x) \ \mathcal{N}_1 + h_2(x) \ \mathcal{N}_2
$$
のように表すことができます。
ここで、 $h_1$ と $h_2$ はそれぞれ正規分布 $\mathcal{N}_1$ と $\mathcal{N}_2$ の混合比を表す関数です。
これらの関数は $\mathcal{N}_1$ と $\mathcal{N}_2$ の累積分布関数 $\Phi_1$ と $\Phi_2$ を用いて、
$$
\begin{align}
h_1(x) &= 1 - \Phi_1(x), \\
h_2(x) &= \Phi_2(x).
\end{align}
$$
のように定義されます。
$h_1$ は
$x:-\infty \to \infty \ \Rightarrow \ h_1(x):1 \to 0$ のように、X軸に沿って徐々に減少し、
$h_2$ は $x:-\infty \to \infty \ \Rightarrow \ h_2(x):0 \to 1$ のように、
X軸に沿って徐々に増加します。
なお、混合比に対して $\forall x, \ h_1 + h_2 = 1$ とするための正規化項 $1 - \Phi_1(x) + \Phi_2(x)$ は
使用しないことにします。その目的は定義式を単純化し、積分を容易にするためです。
混合ガウス分布とは異なり、グラデーションガウス分布では、混合比の正規化は必須ではありません。
X軸の左側（下側）では $\mathcal{N}_1$ が支配的であり、
右側 (上側) では $\mathcal{N}_2$ が支配的なので、
$\mathcal{N}_1$ を左側 (下側) 分布 、 $\mathcal{N}_2$ を右側 (上側) 分布 と呼ぶことにします。
垂直 (縦方向) グラデーション分布 (Vertical Gradational Distribution) (2-コンポーネント) 垂直 (縦方向) グラデーション分布 (Vertical Gradational Distribution) は
2つの正規分布の混合比がY軸に沿って徐々に変化する分布モデルです。
裾の重い分布や頂点が扁平な分布、あるいは非常に尖った分布などを表すのに適しています。
垂直 (縦方向) グラデーション分布を $\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2]$ のように書くことにします。
この記号は、少なくともイメージとして、
Y座標が $0 \to 1$ と漸増するにつれて、確率密度関数の形状が
正規分布 $\mathcal{N}_1$ のものから正規分布 $\mathcal{N}_2$ のものに徐々に変化することを表しています。
このとき、 $\mathcal{N}_1$ を 裾側分布 、 $\mathcal{N}_2$ を 山側分布 と呼ぶことにします。
一般に、 $\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2]$ は
$$
\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2] =
v_1(x) \ \mathcal{N}_1 + v_2(x) \ \mathcal{N}_2
$$
のように表すことができます。
混合比を表す関数 $v_1$ と $v_2$ は
正規分布 $\mathcal{N}_1$ と $\mathcal{N}_2$ の確率密度関数 $f_1$ と $f_2$ を用いて、
$$
\begin{align}
v_1(x) &= 1 - \dfrac{f_1(x)}{f_1(\mu_1)}, \\
v_2(x) &= \dfrac{f_2(x)}{f_2(\mu_2)}.
\end{align}
$$
のように定義されます。
$v_1$ はY軸に沿って (すなわち $f_1(x)$ の値に伴って)、
$$
f_1(x):0 \to \max_{x \in (-\infty, \infty)}f_1(x)
\ \Rightarrow \ v_1(x):1 \to 0
$$
のように漸増し、 $v_2$ は逆に、 $f_2(x)$ の値に伴って、
$$
f_2(x):0 \to \max_{x \in (-\infty, \infty)}f_2(x)
\ \Rightarrow \ v_2(x):0 \to 1
$$
のように漸減します。
あるいは、
$\mathcal{N}_1$ と $\mathcal{N}_2$ の平均値 $\mu_1$ と $\mu_2$ を用いて書くと、
$$
x:-\infty \to \mu_1 \ \Rightarrow \ v_1(x):1 \to 0, \ \ \
x:\mu_1 \to \infty \ \Rightarrow \ v_1(x):0 \to 1
$$
$$
x:-\infty \to \mu_2 \ \Rightarrow \ v_2(x):0 \to 1, \ \ \
x:\mu_2 \to \infty \ \Rightarrow \ v_2(x):1 \to 0
$$
のように漸増、漸減すると言えます。
なお、混合比に対して $\forall x, \ v_1 + v_2 = 1$ とするための正規化項
$1 - f_1(x)/f_1(\mu_1) + f_2(x)/f_2(\mu_2)$ は水平 (横方向) と同様の理由で、使用しません。
$\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2]$ の確率密度関数の形状は通常、
確率密度関数 $f_1$ の山の裾の形から、徐々に $f_2$ の山の形に近づき、
頂上は $f_2$ の頂上と同じか、またはそこに近い位置に来るというイメージでよいと思われます。
ただし、ここで、 $\mu_1$ と $\mu_2$ は必ずしも等しい値である必要はないことに注意してください。
$\mu_1$ と $\mu_2$ の値が異なる場合、 $\mathcal{N}_1$ と $\mathcal{N}_2$ の取り方によっては、
2つの確率密度関数 $f_1$ と $f_2$ の山が互いに遠く離れてしまうことがあり、
さらに加えて、
$\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2]$ の確率密度関数の頂点が、
$f_2$ ではなく、 $f_1$ の頂点に近い位置に来る場合もあり得ます。
これらのケースは「垂直グラデーション」の直感的なイメージには反するかも知れませんが、許容されます。
上のほうの文章で、 $\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2]$ の
確率密度関数の形状変化について、「少なくともイメージとして」と書いたのはこれが理由です。
垂直 (縦方向) グラデーション分布 (3-コンポーネント) 垂直 (縦方向) グラデーション分布の裾側は、X軸に沿って左側（下側）と右側（上側）に分けることができます。
つまり、x座標が分布の左側の裾 ($x = -\infty$ ) から山に向かうにつれて、
確率密度関数が $\mathcal{N}_1$ のものから $\mathcal{N}_2$ のものに徐々に変化し、
また頂点から右側の裾 ($x = \infty$ ) に向かうにつれて、
今度は確率密度関数が $\mathcal{N}_1$ とは異なる $\mathcal{N}_3$ のものに変化していくような、
歪んだ分布モデルを考えることができます。
そのような分布モデルを
$\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2 \downarrow \mathcal{N}_3]$
のように表すことにします。
この分布モデルは一般に、
$$
\mathcal{G}[\mathcal{N}_1 \uparrow \mathcal{N}_2 \downarrow \mathcal{N}_3] =
v_1(x) \ \mathcal{N}_1 + v_2(x) \ \mathcal{N}_2 + v_3(x) \ \mathcal{N}_3
$$
のように表すことができます。
ここで、混合比を表す関数 $v_1$ は
$$
v_1(x) =
\begin{cases}
1 - \dfrac{f_1(x)}{f_1(\mu_1)} & (x \leq \mu_1), \\
0 & (x > \mu_1),
\end{cases}
$$
のように定義され、 $v_3$ は
$$
v_3(x) =
\begin{cases}
0 & (x < \mu_3), \\
1 - \dfrac{f_3(x)}{f_3(\mu_3)} & (x \geq \mu_3).
\end{cases}
$$
のように定義されます。
$v_2(x)$ は 2-コンポーネントの場合と同様に定義されます。
$\mathcal{N}_1$ は 左裾側 (下裾側) 分布 、
$\mathcal{N}_3$ は 右裾側 (上裾側) 分布 と呼ぶことにします。
ただし、この呼び方は、それぞれの平均値 $\mu_1$ と $\mu_3$ のどちらが大きくても構わないものとします。
水平-垂直 (横-縦) グラデーション分布 (Horizontal-Vertical Gradational Distribution) 2つの垂直 (縦方向) グラデーション分布 $\mathcal{G}_1$ と $\mathcal{G}_2$ を
水平 (横方向) グラデーション分布のように混合させることができます。
そのような分布を
$\mathcal{G}[\mathcal{G}_1 \rightarrow \mathcal{G}_2]$
のように表すことにします。
この分布モデルは
$$
\mathcal{G}[\mathcal{G}_1 \rightarrow \mathcal{G}_2] =
h_1(x) \ \mathcal{G}_1 + h_2(x) \ \mathcal{G}_2
$$
のように定義できます。
ただし、 $h_1(x)$ と $h_2(x)$ は水平 (横方向) グラデーション分布の混合比を表す関数です。
$\mathcal{G}_1$ と $\mathcal{G}_2$ は次のように定義される分布モデルです
(ごめんなさい。この式では、 $\mathcal{G}$ と $\mathcal{N}$ の代わりに $G$ と $N$ と書いています。
GitHub のレンダリングエンジンは添字2つ付きの文字と $\mathcal{G}$ や $\mathcal{N}$ を同じ式の中に書くと、
どうもうまく解釈してくれないようなので ( ˘•ω•˘ ))。
$$
G_1 = G[N_{1,1} \uparrow N_{1,2}]
= v_{1,1}(x) \ N_{1,1} + v_{1,2}(x) \ N_{1,2},
$$
$$
G_2 =
G[N_{2,1} \uparrow N_{2,2}] =
v_{2,1}(x) \ N_{2,1} + v_{2,2}(x) \ N_{2,2}
$$
ただし、 $N_{i,j}$ は正規分布です。
$v_{i,1}(x)$ 、 $v_{i,2}(x)$ は垂直 (縦方向) グラデーション分布の混合比を表す関数です。
この分布モデルは例えば、左右に歪んでいて、かつ裾が重い分布などに適用できます。
このパッケージでは、大きく分けて、以下の種類の分布モデルが生成できます。
正規分布 (Normal Distribution)
2つの正規分布の平均 (Mean of 2 Normal Distributions) (混合ガウス分布)
水平 (横方向) グラデーション分布 (Horizontal Gradational Distribution)
垂直 (縦方向) グラデーション分布 (Vertical Gradational Distribution) (2および3-コンポーネント)
水平-垂直 (横-縦) グラデーション分布 (Horizontal-Vertical Gradational Distribution)
上の 0 と 1 は GGD ではありませんが、
分布モデルの比較検討のために、生成できるようにしています。
上の大まかな分類は、コンポーネントの正規分布の条件によって
平均値が異なり、標準偏差が等しい分布の混合 (Mean-Differed Sigma-Equaled)
平均値が等しく、標準偏差が異なる分布の混合 (Mean-Equaled Sigma-Differed)
平均値と標準偏差の両方が異なる分布の混合 (Mean-Differed Sigma-Differed)
のように、それぞれ細分化させています。
そのため、分布モデルは全部で16種類あります。
番号が大きいほど自由度が高く、より複雑な分布を表現できますが、
データを分析するには、単純なモデルの方がやりやすいかも知れません。
種別
関数名
機能
ジェネレータ
ggd.nls.freq
度数分布を近似する GGD クラスオブジェクトを生成します。
〃
ggd.nls.freq.all
サポートしている全種類の分布で度数分布の近似を試みます。
〃
ggd.trace.q
分位点をトレースする GGD クラスオブジェクトを生成します。
〃
ggd.set.cmp
GGD の構成を指定して、オブジェクトを生成します。
フィールド
median
分布の中央値です。
〃
mean
分布の平均値です。
〃
sd, usd, lsd
分布の標準偏差、上側半標準偏差、下側半標準偏差です。
RCメソッド
d
確率密度関数の値を返します。
〃
p
X座標 (クォンタイル) に対する確率を返します。
〃
q
確率に対するX座標 (クォンタイル) を返します。
〃
r
分布に従うランダムサンプルを返します。
〃
tex
確率密度関数と累積分布関数を TeX 形式で表示します。
〃
read.csv
GGD の構成をCSVファイルから読み込みます。
〃
write.csv
GGD の構成をCSVファイルに保存します。
平均値や標準偏差は 'stats' パッケージの dnorm 関数および pnorm 関数と四則演算により算出しています
(水平-垂直 (横-縦) グラデーション分布の上下半標準偏差は数値積分による)。
したがって、計算精度は dnorm 関数や pnorm 関数の精度に依存します。
# Install devtools from CRAN
install.packages( "devtools" )
# Then use devtools::install_github( "user/repository" ) to install cgd package from GitHub
devtools::install_github( "Kimitsuna-Goblin/ggd" )
確率密度関数 $f(x)$ と累積分布関数 $\Phi(x)$ は以下の式で表されます。
$$
\begin{align}
f(x) &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( -\dfrac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)\\
\Phi(x) &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{x} \exp \left( -\dfrac{(t - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) dt
\end{align}
$$
いわゆる正規分布です。
正規分布と GGD とでデータモデリングの妥当性を比較検討するために用意されています。
また、2点の分位点 (三分位点など) のトレースもできます (2点でトレースと言えるのだろうか？)。
確率密度関数 $g(x)$ と累積分布関数 $\Psi(x)$ は
2つの正規分布の確率密度関数 $f_1(x), f_2(x)$
と累積分布関数 $\Phi_1(x), \Phi_2(x)$ を使って、以下の式で表されます。
$$
\begin{align}
g(x) &= \dfrac{1}{2} ( f_1(x) + f_2(x) )\\
\Psi(x) &= \dfrac{1}{2} ( \Phi_1(x) + \Phi_2(x) )
\end{align}
$$
これは混合ガウス分布の一例です。
混合ガウス分布と GGD とでデータモデリングの妥当性を比較検討するために用意されています。
また、3点または4点の分位点のトレースもできます。
確率密度関数 $g(x)$ と累積分布関数 $\Psi(x)$ は
2つの正規分布の確率密度関数 $f_1(x), f_2(x)$
と累積分布関数 $\Phi_1(x), \Phi_2(x)$ を使って、以下の式で表されます。
$$
\begin{align}
g(x) &= \left( 1 - \Phi_1(x) \right) f_1(x) + \Phi_2(x) f_2(x)\\
\Psi(x) &= \Phi_1(x) - \dfrac{1}{2} \Phi_1(x)^2 + \dfrac{1}{2} \Phi_2(x)^2
\end{align}
$$
水平 (横方向) グラデーション分布は左右に歪んだ3点または4点の分位点を累積密度関数でトレースできます。
確率密度関数のグラフの概形は、例えば以下のサンプルのようになります。
確率密度関数 $g(x)$ と累積分布関数 $\Psi(x)$ は
2つ、あるいは3つの正規分布の確率密度関数 $f_i(x)$
と累積分布関数 $\Phi_i(x)$ $(i = 1, 2, 3)$ を使って、以下の式で表されます。
以下の式において、
$\Phi^\ast_i(x)$ は平均値が $\mu_i$ で標準偏差が $\sigma_i / \sqrt{2}$
の正規分布の累積分布関数を表します。
3-1. 2-コンポーネント
$$
\begin{align}
g(x) &= \left( 1 - \dfrac{f_1(x)}{f_1(\mu_1)} \right) f_1(x) + \dfrac{f_2(x)}{f_2(\mu_2)} f_2(x)\\
\Psi(x) &= \Phi_1(x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Phi^\ast_1(x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Phi^\ast_2(x)
\end{align}
$$
3-2. 3-コンポーネント
$$
\begin{align}
g(x) &= g_1(x) + g_2(x) + g_3(x) \\
\Psi(x) &= \Psi_1(x) + \Psi_2(x) + \Psi_3(x)\\
\\
g_1(x) &= \left\lbrace
\begin{array}{l}
\left( 1 - \dfrac{f_1(x)}{f_1(\mu_1)} \right) f_1(x) & (x \leq \mu_1)\\
0 & (x > \mu_1)\\
\end{array} \right.\\
g_2(x) &= \dfrac{f_2(x)}{f_2(\mu_2)} f_2(x)\\
g_3(x) &= \left\lbrace
\begin{array}{l}
0 & (x < \mu_3)\\
\left( 1 - \dfrac{f_3(x)}{f_3(\mu_3)} \right) f_3(x) & (x \geq \mu_3)
\end{array} \right.\\
\\
\Psi_1(x) &= \min \left( \Phi_1(x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Phi^\ast_1(x), \ \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)\\
\Psi_2(x) &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Phi^\ast_2(x)\\
\Psi_3(x) &= \max \left( 0, \ \Phi_3(x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Phi^\ast_3(x) - \dfrac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)
\end{align}
$$
垂直 (縦方向) グラデーションは分布の尖度を重視するモデルです。
3～6点の分位点を累積分布関数でトレースできますが、
$p = 0.25, 0.5, 0.75$ のように、等間隔な少数の分位点のトレースには適しません。
分位点をトレースする際には、例えば $p = 0.1, 0.4, 0.6, 0.9$ のように、裾部と山部の代表点を選んでください。
左右対称な分布の場合は、 $p = 0.1, 0.4, 0.5$ のように、一方の側に偏った分位点を選ぶのも有効です。
確率密度関数のグラフの概形は、例えば以下のサンプルのようになります。
確率密度関数 $g(x)$ と累積分布関数 $\Psi(x)$ は
4つの正規分布の確率密度関数 $f_{i,j}(x)$
と累積分布関数 $\Phi_{i,j}(x)$ $(i, j = 1, 2)$ を使って、以下の式で表されます。
以下の式において、 $\Phi^\ast_{i,j}(x)$ は平均値が $\mu_{i,j}$ で標準偏差が $\sigma_{i,j} / \sqrt{2}$ の正規分布の累積分布関数を表します。
$$
\begin{align}
g(x) &= \left( 1 - \Psi_1(x) \right) g_1(x) + \Psi_2(x) g_2(x)\\
\Psi(x) &= \Psi_1(x) - \dfrac{1}{2} \Psi_1(x)^2 + \dfrac{1}{2} \Psi_2(x)^2\\
\\
g_i(x) &= \left( 1 - \dfrac{f_{i,1}(x)}{f_{i,1}(\mu_{i,1})} \right) f_{i,1}(x) + \dfrac{f_{i,2}(x)}{f_{i,2}(\mu_{i,2})} f_{i,2}(x)\\
\Psi_i(x) &= \Phi_{i,1}(x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Phi^\ast_{i,1}(x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Phi^\ast_{i,2}(x)
\end{align}
$$
水平-垂直 (横-縦) グラデーション分布は本パッケージの分布モデルの中で最も自由度が高く、
最も複雑な分布を表すことができます。
このモデルでは、5～8点の分位点を累積密度関数でトレースできます。
例えば、 $p = 0.1, 0.25, 0.4, 0.5, 0.6, 0.75, 0.9$ の分位点をトレースできます。
9点以上の分位点は本パッケージの機能ではトレースできません。
分位点が9点以上ある場合は、度数分布を作成して、 ggd.nls.freq による近似をお試しください。
確率密度関数のグラフの概形は、例えば以下のサンプルのようになります。
この分布モデルは、
連結ガウス分布 (Connected Gaussian Distribution; CGD) からの派生で、
一応、このパッケージの作者が考案したものですが、
わりと誰でも思いつきそうな分布モデルだと思いますので、
先人の研究があるんじゃないかろうか？と思っています。
もし、この分布モデルに関する、2021年以前の情報があれば、教えてください。
私 (パッケージの作者) は一応、大学の数学科にいたことはありますが、
統計学の専門家じゃありませんので、そういう情報には疎いのです (^^;。
