qp.tex

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\fancyfoot[RE,RO]{~\thepage~}

\fancyhead[RE,RO]{量子力学  \quad 2022春季学期   \quad 何翼成}

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\title{\textbf{量子力学复习笔记}}
\author{ 何翼成 \thanks{学号:520072910043; \newline
    邮箱地址：heyicheng@sjtu. edu. cn} }
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

%\begin{abstract}
%这是一篇中文小论文。这个部分用来写摘要。摘要的章标题默认是英文，还没找到改成中文的方法:(
%\end{abstract}
\tableofcontents
\section{对量子力学的初步认知}
\subsection{Bohr-Sommerfiled条件}
\subsubsection{引理}
$\oint p_{k}\mathrm{d}q_{k}=n_{k}h,n_{k}=1,2,3\dots$\newline

其中$\oint$代表的是周期积分，它必须要包括这个运动的一个完整周期。而$p_{k},q_{k}$则代表了一对共轭的正则坐标与动量。这意味着，不仅仅是
一维情况中普遍存在的p，x问题，对于其它类似的量同样可以进行运算。\newline

但是要注意的是，这个量子化条件是对量子力学的初步认知，得到的结果并不完整，比如下面的谐振子的问题，量子力学求解得到的答案就是$E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$
\subsubsection{"一个完整周期"的具体例子}

使用量子化条件求解谐振子的能量，谐振子势能$V(x)=\frac{mw^2x^2}{2}$.
\begin{equation}
    解：
    \oint p\mathrm{d}x=2\int_{-a}^{a}\mathrm{d}x\sqrt{2m(E-\frac{1}{2}mw^2x^2)}
\end{equation}
\quad \newline

其中 $a$即为$x_{m}$，x空间内所能运动范围的最大值，通过代入条件$v=0$即可得到$a=\sqrt{2E/mw^2}$.
重点在于该式中积分符号前的2，它代表了谐振子从$-a$到$a$仅经过了一个$\frac{T}{2}$
\subsubsection{其它正则共轭坐标与动量的应用}
0.正则坐标的原始定义
拉格朗日量为$L(q,\dot q,t)=T(q,\dot q,t)-V(q,t)$。\quad \newline

哈密顿量为$H(q,p,t)=\sum_{i} \dot q_{i}p_{i} -L$\quad \newline

哈密顿方程形式为：
\(
    \left\{
        \begin{aligned}
        &\text{$\dot q_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}$}  \\
        &\text{$\dot p_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}$}
        \end{aligned}
    \right\}
\)
    \newline

1.平面转子的能量允许值
设转子的转动惯量为$I$,则有$L\cdot 2\pi=nh$,化简即为$L=n\hbar$,代入转子的动能表达式即有$E=\frac{L^2}{2I}=\frac{n^2\hbar^2}{2I}$

\section{一维波函数的研究}
\subsection{时间因子}
这是一类经典的题目，即已知初态函数$\psi(x,0)$，求解其完整演化形式$\psi(x,t)$。\newline

解决方法通常是：1.若哈密顿量$\hat{H}$不含时，就可以考虑将原函数$\psi(x,0)$乘上时间因子$e^{-\frac{i\hat{H}t}{\hbar}}$；\newline

2.可以求解传播子（Propagator）函数，然后求解$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}dx'G(x,x';t,t')\psi(x,0)$(这里的积分形式为一维，若要拓展为三维空间
大致同理)\newline

比如一维自由粒子的传播子是$G(x,x';t,t')=\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar t}}e^{\frac{im}{2\hbar}\frac{(x-x')^2}{t-t'}}$
通过求解初态为$\psi(x,0)=\delta(x)$的自由一维粒子的$\psi(x,t)$，我们可以导出传播子的具体形式。（这也说明了格林函数定义的物理图像是怎样的）\newline

引理：$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}dx=\sqrt{\pi}e^{i\pi/4}$(Fresnel积分公式)\newline

先将其初态函数傅里叶变换为动量表象:$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)e^{-ipx/\hbar}dx=1$,
然后将其转回傅里叶变换形式：$\psi(x,0)=\delta(x)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dpe^{ipx/\hbar}$,
这样就可以乘上时间因子，得到$\psi(x,t)=e^{-\frac{i\hat{H}t}{\hbar}}\psi(x,0)=e^{-\frac{it}{\hbar}\frac{\hat{p}^2}{2m}}\psi(x,0)$,
利用平面波的本征方程，我们可以放心地将算符$\hat{p}$代入到积分式中参与运算，即$\psi(x,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dpe^{-i\frac{p^2t}{2m\hbar}+\frac{i}{\hbar}px}$,
利用换元法$-i\frac{p^2t}{2m\hbar}+\frac{i}{\hbar}px=\frac{-it}{2m}(p-\frac{mx}{t})^2+i\frac{mx^2}{2t}$,
即可计算积分式得到传播子的方程形式(当然，在这里默认了x'=0,t'=0)\newline

\subsubsection{方法一：乘上传播子后进行空间上的积分}
这个方法通常需要用到一个广义Guass积分式
\begin{equation}
    \int_{-\infty}^{\infty}dxe^{-\alpha x^2+\beta x}=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{\frac{\beta^2}{4\alpha}}
\end{equation}
若有$\psi(x,0)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{1/2}}e^{ip_{0}x/\hbar}$,
则有$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}dx'G(x,x';t,t')\psi(x,0)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{1/2}}e^{i(p_{0}x-\frac{p_{0}^2t}{2m})/\hbar}$
\subsubsection{方法二：乘上时间因子}
这个方法根据$\hat{H}$的使用方法而异，比如有的情景就是简单的化为含$\hat{p}$的形式，有时候则需要将其写作偏微分形式或者$\nabla$算子形式。
经过一些讨论我们还能得到进一步的结论。\newline

$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$,
那么就有$\psi(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(\frac{i\hbar t}{2m})^n\frac{\partial^{2n}}{\partial x^{2n}}\psi(x,0)$
其中还有平移算符以及对应的结论：$e^{a\frac{\partial}{\partial z}}f(z)=f(z+a)$\newline

\subsubsection{傅里叶变换与动量表象}
$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x)$
$\frac{p^2}{2\mu}\phi(p)+V(i\hbar\frac{\partial}{\partial p})\phi(p)=E\phi(p)$\newline

三维形式则是 \newline

$\frac{\boldsymbol{p}^2}{2\mu}\phi(\boldsymbol{p})+V(i\hbar\nabla_{p})\phi(\boldsymbol{p})=E\phi(\boldsymbol{p})$\newline

以动量表象求解薛定谔方程：
$V(x)=-V_{0}\delta(x)$的束缚态能级和本征函数。\newline

\begin{equation}
    \begin{aligned}
&\frac{p^2}{2m}\phi(p)+\int_{-\infty}^{\infty}V(pp')\phi(p')dp'=E\phi(p),\\
&V_{pp'}=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dxV(x)e^{i(p-p')x/\hbar}=-\frac{V_{0}}{2\pi\hbar},\\
&(\frac{p^2}{2m}-E)\phi(p)=\frac{V_{0}}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p')dp'=\textit{Const.}\\
&\phi(p)=\frac{2mC}{P^2-2mE}=\frac{A}{p^2-2mE}(A\text{为归一化系数})\\
&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp}{p^2-2mE}=\frac{\pi\hbar}{mV_{0}}\\
&1=\int|\phi(p)|^2dp=|A|^2\frac{\pi}{2(\hbar k)^3},k=\frac{mV_{0}}{2\hbar^2}\\
&E=-\frac{mV_{0}^2}{2\hbar^2}\\
&A=(\frac{2}{\pi})^{1/2}(\frac{mV_{0}}{\hbar})^{3/2}\\
&\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dp}{\phi(p)}e^{ipx/\hbar}\\
&\Longrightarrow \psi(x)=\sqrt{k}e^{-k|x|}
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &\text{利用波函数验证不确定性关系}\\
        &<p>=\int p|\phi(p)|^2dp=0,<p^2>=\int p^2|\phi(p)|^2dp=\hbar^2k^2\\
        &\Delta p=\sqrt{<p^2>-<p>^2}=\hbar k;\\
        &\hat{x}=i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\\
        &\Longrightarrow <x>=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\phi\frac{d\phi}{dp}dp=0,\\
        &<x^2>=(i\hbar)^2\int_{-\infty}^{\infty}\phi\frac{d^2\phi}{dp^2}dp=\frac{1}{2k^2},\\
        &\Delta x=\sqrt{<x^2>-<x>^2}=\sqrt{2k^2}\\
        &\Longrightarrow \Delta x \cdot \Delta p =\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\geqslant \hbar/2
    \end{aligned}
\end{equation}

\subsection{一维定态问题}
\section{算符与狄拉克符号}
算符的本质是矩阵,态的本质是一个矢量.利用类似于线性代数的方法来处理涉及狄拉克符号的方程的计算,将是非常有助益的.
\subsection{矢量,算符,矩阵}
\subsubsection{狄拉克符号}
$\Bra{a}$是左矢(bra),在线性代数中是指行矢量;$\Ket{a}$是右矢(ket),在线性代数中是指列矢量.而$\Bra{a}$与$\Ket{a}$互为共轭转置关系.
所以$\Bra{a}\Ket{a}$相当于进行了一次内积运算,得到一个实数;$\Ket{a}\Bra{a}$相当于一次外积运算,得到一个矩阵.\newline

根据左矢和右矢的关系,我们可以得到性质:$\Bra{\psi}\Ket{\phi}^{*}=\Bra{\phi}\Ket{\psi}$.\newline

计算本征值时,所常用的方程是$\hat{A}|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$.这说明了在运算中正如熟悉的线性代数那样,将$\hat{A}$看做了一个矩阵,
而参与运算的矢量的确是列矢量.\newline

如果要得到一个矩阵的第i行第j列的元素$A_{ij}$,我们可以使用乘积运算来得到它:$A_{ij}=\Bra{i}\hat{A}\Ket{j}$.\newline

\subsubsection{常用算符及其推导}
首先定义对易运算:$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$.
若$[\hat{A},\hat{B}]=0$,则称$\hat{A},\hat{B}$这两个算符对易(即没有先后作用的区别:$\hat{A}\hat{B}\Ket{\psi}=\hat{B}\hat{A}\Ket{\psi}$)\newline

其次是对易运算的一些运算性质(和泊松括号区分开).\\
$[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{A}\hat{B}=(\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{A}\hat{C}\hat{B})+(\hat{A}\hat{C}\hat{B}-\hat{C}\hat{A}\hat{B})
=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}.$


\begin{itemize}
\item 升降算符
寻找到一对算符$\hat{Q}_{+},\hat{Q}_{-}$使得
$[\hat{Q},\hat{Q}_{\pm}]=\pm\alpha\hat{Q}_{\pm}$.若原本存在本征关系$\hat{Q}\Ket{\psi}=q\Ket{\psi}$,
那么可以得到关系$\hat{Q}_{\pm}\hat{Q}\Ket{\psi}=(q+\alpha)\hat{Q}_{\pm}\Ket{\psi}$.\newline

\item 角动量算符.
 $\hat{L}=\hat{r}\times\hat{p}=(\vec{r})\times(-i\hbar\nabla)=-i\hbar\vec{r}\times\nabla$\\
 角动量的三个分量并不具有共同的本征矢,所以无法写出$\hat{L}\Ket{\psi}=\lambda\Ket{\psi}$这样的方程.
 但是角动量平方和角动量的各个分量是对易的(它们具有共同的本征态).
它们的关系可以写作
\(
    \left\{
        \begin{aligned}
        &[\hat{L}_{x},\hat{L}_{y}]=i\hbar\hat{L}_{z}\\
        &[\hat{L}_{y},\hat{L}_{z}]=i\hbar\hat{L}_{x}\\
        &[\hat{L}_{z},\hat{L}_{x}]=i\hbar\hat{L}_{y}
        \end{aligned}
    \right\}
\)

\item 时间求导算符

\end{itemize}
\subsection{计算例题}

\subsubsection{一维谐振子的升降算符}
对于在势场$V(x)=\frac{1}{2}mw^2x^2$中的一维谐振子,其哈密顿算符是$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2+m^2w^2\hat{x}^2}{2m}$.\newline

构造升降算符$\hat{a}_{\pm}=\frac{mw\hat{x}\mp i\hat{p}}{\sqrt{2mw\hbar}}$

即有
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &\hat{a}_{+}\psi_{n}=\sqrt{n+1}\psi_{n+1};\hat{a}_{-}\psi_{n}=\sqrt{n}\psi_{n-1}\\
        &[\hat{H},\hat{a}_{\pm}]=\frac{1}{2m\sqrt{2mw\hbar}}[\hat{p}^2+m^2w^2\hat{x}^2,mw\hat{x}\mp i\hat{p}]\\
        &=\frac{1}{2m\sqrt{2mw\hbar}}([\hat{p}^2,mw\hat{x}]\mp[\hat{p}^2,i\hat{p}]+[m^2w^2\hat{x}^2,mw\hat{x}]\pm[m^2w^2\hat{x}^2,i\hat{p}])\\
        &(\text{代入}[\hat{p}^2,mw\hat{x}]=mw(\hat{p}[\hat{p},\hat{x}]+[\hat{p},\hat{x}]\hat{p})=-2imw\hbar\hat{p},[m^2w^2\hat{x}^2,i\hat{p}]=im^{2}w^{2}[\hat{x}^{2},\hat{p}]=im^2w^2(\hat{x}[\hat{x},\hat{p}]+[\hat{x},\hat{p}]\hat{x})=-2m^2w^2\hbar\hat{x}\\
        &[\hat{p}^2,i\hat{p}]=[m^2w^2\hat{x}^2,mw\hat{x}]=0;[\hat{p},\hat{x}]=-i\hbar)\\
        &[\hat{H},\hat{a}_{\pm}]=\frac{-2imw\hbar\hat{p}\pm 2m^2w^2\hbar\hat{x}}{2m\sqrt{2mw\hbar}}=\pm\frac{w\hbar(mw\hat{x}\mp i\hat{p})}{2m\sqrt{2mw\hbar}}=\pm w\hbar\hat{a}_{\pm}.
    \end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &
    \end{aligned}
\end{equation}
\subsubsection{埃伦费斯特定理(Ehrenfest Theorem)}

\begin{equation}
    \frac{d}{dt}<A>=\frac{1}{i\hbar}<[A,H]>+<\frac{\partial A}{\partial t}> \\
\end{equation}

\quad \newline

简单的推导过程:
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &\frac{d}{dt}\langle A \rangle=\frac{d}{dt}\int\psi^{*}A\psi dx\\
        &=\int(\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t})A\psi dx+\int\psi^{*}(\frac{\partial A}{\partial t})\psi dx+\int\psi^{*}A(\frac{\partial \psi}{\partial t})dx\\
        &=\int(\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t})A\psi dx+\langle\frac{\partial A}{\partial t}\rangle+\int\psi^{*}A(\frac{\partial \psi}{\partial t})dx\\
        &\xrightarrow{H\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t},(H\psi)^{*}=-i\hbar\frac{\partial\psi^{*}}{\partial t},(H\psi)^{*}=\psi^{*}H^{*}=\psi^{*}H}\\
        &=\frac{1}{i\hbar}\int\psi^{*}(AH-HA)\psi dx+\langle\frac{\partial A}{\partial t}\rangle\\
        &=\frac{1}{i\hbar}\langle[A,H]\rangle+\langle\frac{\partial A}{\partial t}\rangle\\
    \end{aligned}
\end{equation}
\quad \newline
部分物理量的期望值对时间求导的推导
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &\text{位置期望值对时间求导}\\
        &H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)\\
        &\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[x,H]\rangle+\langle\frac{\partial x}{\partial t}\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[x,H]\rangle\\
        &=\frac{1}{i2m\hbar}\langle[x,p^2]\rangle=\frac{1}{i2m\hbar}\langle xpp-ppx\rangle.\\
        &\xrightarrow{xpp-ppx=i2\hbar p}\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\frac{1}{m}\langle p\rangle=\langle v\rangle.
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &\text{动量期望值对时间求导}\\
        &\frac{d}{dt}\langle p\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[p,H]\rangle+\langle\frac{\partial p}{\partial t}\rangle\\
        &\xrightarrow{p=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\longrightarrow[p,p^2]=0}\\
        &\frac{d}{dt}\langle p\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[p,V]\rangle\\
        &=\int\psi^{*}V\frac{\partial}{\partial x}\psi dx-\int\psi^{*}\frac{\partial}{\partial x}(V\psi)dx=\langle-\frac{\partial}{\partial x}V\rangle.
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &\text{xp的期望值对时间求导(Virial Theorem位力定理)}\\
        &\text{证明:}\frac{d}{dt}\langle xp\rangle=2\langle T\rangle-\langle x\frac{dV}{dx}\rangle\\
        &\frac{d}{dt}\langle xp\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[H,xp]\rangle;[H,xp]=[H,x]p+x[H,p];[H,x]=-\frac{i\hbar p}{m};[H,p]=i\hbar\frac{\partial V}{\partial x}\\
        &\Longrightarrow\frac{d}{dt}\langle xp\rangle=\frac{i}{\hbar}[-\frac{i\hbar}{m}\langle p^2\rangle+i\hbar\langle x\frac{\partial V}{\partial x}\rangle]\\
        &=2\langle\frac{p^2}{2m}\rangle-\langle x\frac{\partial V}{\partial x}\rangle=2\langle T\rangle-\langle x\frac{\partial V}{\partial x}\rangle\\
    \end{aligned}
\end{equation}
%%%以下为插入图片模板
%\quad \newline
%	\begin{figure}[!htbp]
%		\centering
%		\includegraphics[width=0.5\textwidth,height=0.375\textwidth]{pictures/minscale.png}
%		\caption{最小风向} \label{minsacle}
%	\end{figure}

%%%以下为插入图片模板
%\quad \newline
%	\begin{figure}[!htbp]
%		\centering
%		\includegraphics[width=0.5\textwidth,height=0.375\textwidth]{pictures/minscale.png}
%		\caption{最小风向} \label{minsacle}
%	\end{figure}

%    \begin{algorithm}
%		\caption{Title of the Algorithm}
%     	\begin{algorithmic}[1]
%			\REQUIRE some words.  % this command shows "Input"
%			\ENSURE ~\\           % this command shows "Initialized"
%			some text goes here ... \\
%			\WHILE {\emph{not converged}}
%			\STATE ... \\  % line number at left side
%			\ENDWHILE
%			\RETURN this is the lat part.  % this command shows "Output"
%		\end{algorithmic}
%	\end{algorithm}

\end{document}