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数学	[[-高等数学-]]	Cyletix

目录-同济版

1. [[---极限与连续---]]
2. [[---导数---]]
3. [[---微分---]]
4. [[---积分---]]
5. [[---微分方程---]]
6. [[---解析几何---]]
7. [[---多元函数微分---]]
8. [[---重积分---]]
9. [[---曲线曲面积分---]]
10. [[---级数---]]

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Wikipedia

微积分学主要包括微分学和积分学两个部分，是研究极限、微分、积分和无穷级数等的一个数学分支。本质上，微积分学是一门研究连续变化的学问。

微积分学在科学、商学和工程学领域皆有广泛的应用，并成为了现代大学教育的重要组成部分，用于有效解决一些仅以代数学和几何学无法处理的问题。

微积分学于代数学和几何学的基础上建立，其中微分是指函数的局部变化率的一种线性描述，包括求导数和其运算，即一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符号进行演绎；积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，包括求积分的运算，为定义和计算长度、面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分基本定理指出，微分和不定积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。

历史上，微积分曾经指无穷小的计算。直至现今，在更深层次的数学领域中，高等微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学，是高等数学的主要分支之一。相应的，微积分学又称为初等数学分析。

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GPT-4 微积分目录

1. 极限和连续性：学习极限的概念，包括函数极限和无穷极限。理解连续函数的定义和性质，以及间断点和间断类型。

2. 导数与微分：了解导数的定义和性质，学习求导法则，包括常见函数的导数公式和求导规则。研究高阶导数、隐函数求导和参数方程的导数。掌握微分的概念和应用。

3. 积分与定积分：学习定积分的定义和性质，掌握求不定积分和定积分的基本技巧，如换元法、分部积分法和三角代换法。了解定积分的几何和物理应用。

4. 微分方程：研究常微分方程的解法和基本理论。了解一阶和高阶微分方程的概念、分类和解法，包括可分离变量方程、线性方程、常系数齐次方程等。

5. 级数：掌握泰勒级数的定义和应用，了解级数的收敛性和求和方法。学习幂级数展开和函数的泰勒展开。

6. 多元函数与偏导数：了解多元函数的概念和性质，学习多元函数的偏导数和混合偏导数。探索多元函数的最大值和最小值，研究约束条件下的极值问题。

7. 曲线积分与曲面积分：研究曲线积分和曲面积分的定义和计算方法。了解格林公式、斯托克斯定理和高斯定理等重要定理。

8. 级数：掌握泰勒级数的定义和应用，了解级数的收敛性和求和方法。学习幂级数展开和函数的泰勒展开。

\begin{document}
  \begin{tikzpicture}[domain=0:4]
    \draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (3.9,3.9);
    \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,-1.2) -- (0,4.2) node[above] {$f(x)$};
    \draw[color=red]    plot (\x,\x)             node[right] {$f(x) =x$};
    \draw[color=blue]   plot (\x,{sin(\x r)})    node[right] {$f(x) = \sin x$};
    \draw[color=orange] plot (\x,{0.05*exp(\x)}) node[right] {$f(x) = \frac{1}{20} \mathrm e^x$};
  \end{tikzpicture}
\end{document}