appendix_group.tex

% 这是有限群附录

\chapter{Finit Group}
\epigraphhead[40]{\epigraph{数学书有两种，一种是看一面就看不下去的，一种是看了一行就看不下去的。}{杨振宁}}
这篇附录是根据李新征老师群论讲义和教学录像整理而成的笔记, 大致只打算写完有限群, 对于高量学习绰绰有余。
\section{群的基本结构}
\subsection{群的定义和一些基本定理}
其实在接受前面对于线性空间的抽象定义之后也很好接受群的概念：
\begin{define}{群的定义}
    群是一个有着\textbf{乘法}$\circ$这一特殊结构的元素集合$G$：
    \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] \textbf{封闭性}：$\forall g_1,g_2\in G\rightarrow g_1\circ g_2\in G$
    \item[$\bullet$] \textbf{结合律}：$(g_1\circ g_2)\circ g_3=g_1\circ (g_2\circ g_3)$
    \item[$\bullet$] \textbf{单位元(幺元)存在性}：$\exists e\in G,\mathrm{s.t.}\forall g\in G\rightarrow g\circ e=e\circ g=g$
    \item[$\bullet$] \textbf{逆元存在性}：$\forall g\in G,\exists g^{-1}\in G\rightarrow g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=e$
    \end{itemize}
\end{define}
上面的定义中不必额外强调单位元和逆元的唯一性, 因为根据定义唯一性自动存在。而且有\footnote{后面在不引起歧义时, 省略乘法符号}：
\begin{equation*}
    (g_1g_2)^{-1}=g_2^{-1}g_1^{-1}
\end{equation*}

不过要注意, 一般的群的乘法是\textbf{不满足}交换律的, \textbf{乘法额外满足交换律的群我们称之为Abel群}。
\begin{example}{群的例子}
    全体整数$\mathbb{Z}$在自然加法作为乘法的情况下构成一个群, 而且还是一个Abel群。
\end{example}
\begin{define}{群的阶}
    群的阶的定义和集合的势的概念是相通的, 定义为群内元素的个数, 记为$|G|$, 常说的有限群指的就是群的阶有限大。
\end{define}
下面要介绍的定理是后面的证明几乎都需要用到的定理：
\begin{theorem}{重排定理}
    \begin{equation*}
        gG=Gg=G
    \end{equation*}
    其中$g\in G$, 其实就是说$G$中拿出一个元素再去和$G$中的所有元素相乘, 得到的集合还是原来的群$G$本身, 而且不会出现重复。$g$的作用只是把原先的群元素重新排列了一下。
\end{theorem}
\begin{proof}
     $(1)\forall g_\alpha \in G$，由逆元存在性和封闭性知$g^{-1}g_\alpha \in G$，那么再根据结合律和逆元定义知$g(g^{-1}g_\alpha)=g_\alpha$，那么当
    $g_\alpha$取遍$G$中元素我们便得到了$gG=G$.\\
    $(2)$用到群相关定理证明的大杀器：{\color{red}{反证法}}，设$g_\alpha\neq g_\beta$，如果$gg_\alpha=gg_\beta$，那么$g^{-1}(gg_\alpha)=g^{-1}(gg_\beta)\Rightarrow g_\alpha= g_\beta$，
    与已知矛盾.这一证明其实用掉了群的所有性质.\qed
\end{proof}
\subsection{群的内部结构}
\begin{define}{子群}
    设$H$是群$G$的一个子集, 如果$H$中的元素在$G$的乘法定义下也构成一个群, 那么就称$H$是$G$的一个子群, 记为$H\leq G$
\end{define}
\begin{example}{平庸子群}
    显然任何群$G$的幺元和其本身是$G$的两个子群，我们称之为平庸子群，其它的我们称为$G$的固有子群。
\end{example}
\begin{define}{循环子群和群元的阶}
    对任意一个\textbf{有限群}$G$，从中任取一个元素$a$，在原先的群乘法定义下作幂操作，\uwave{总是}可以得到一个$G$的子群$Z_k\equiv{a,a^2,a^3,\ldots,a^k=e}$，我们称之为
    $G$的一个循环子群，这个子群的阶，或者说使得$a^k=e$的最小的$k$称之为群元$a$的阶.
\end{define}
这里需要额外说明的就是为啥任何一个元素一定可以生成一个循环子群。只需要说明使$a^k=e$的$k$一定存在，$a=e$，问题解决；$a\neq e$，那么$a^2\neq a$否则$a=e$，$a^2=e$那么问题解决，
但如果$a^2\neq e$，就再考虑$a^3$，如此下去，由于前提是$G$为有限群，所以这个$k$一定存在。
\begin{define}{陪集}
    设$H\leq G$，由固定的$g\in G$可以生成$H$的左陪集：$gH\equiv{gh|h\in H}$，或是右陪集：$Hg\equiv{hg|h\in H}$
\end{define}
注意上面的定义中我们并没有用“群”这个字眼，说明陪集这个玩意一般只是一个集合而已，没有群结构。不难证明陪集中的元素是和子集$H$中的元素一一对应的，根据重排定理，
$g\in H$时$gH$和$Hg$构成一个群，就是$H$本身。
\begin{theorem}{陪集定理}
    $H\leq G, g_1,g_2\in G\rightarrow \{g_1H=g_2H\}\oplus \{g_1H \cap g_2H=\varnothing\}$\footnote[0]{其中$\oplus$表示“异或”，表示两者只能取其一。}
\end{theorem}
这个定理使用重排定理和反证法很好证明，只需要说明只要两个左陪集有一个公共元素那么$g_1H=g_2H$即可。当然，这个定理对于右陪集一样适用。这个定理也告诉我们或许任意一个群可以分解为一系列其某个子群的陪集的不交并。
\begin{proposition}{陪集分解}
    $H\leq G$，则$G$一定可以分解为一系列陪集的不交并，及：
    \begin{equation*}
        G=eH+g_1H+g_2H+\cdots
    \end{equation*}
\end{proposition}
根据前面的陪集定理，我们只需要在构建这个分解时，不断选取$g_\alpha$不属于前面的集合去构建新的陪集$g_\alpha H$即可。前面我们说过陪集元素和$H$一一对应，那么$|gH|=|H|$，再看陪集分解，由
于我们可以将任意一个集合分解为一系列陪集的\textbf{不交并}，所以我们立即得到下面的Lagange定理：
\begin{theorem}{Lagrange定理}
    有限子群的阶必为群的阶的因子，也就是说$|H|$一定可以整除$|G|$
\end{theorem}
这个定理实际上也说明了群元的阶必为群的阶的因子。
\begin{define}{共轭}
    $\forall f,h\in G$，如果$\exists g\in G$，使得$gfg^{-1}=h$，我们就称这两个元素共轭，记为$f\sim h$
\end{define}
群元素共轭的概念抽象一点这就是集合中的\textbf{等价关系的概念}，满足下面三条：
\begin{itemize}
    \item[$\bullet$] \textbf{对称性}：$f\sim h\rightarrow h\sim f$
    \item[$\bullet$] \textbf{传递性}：$f_1\sim h,h\sim f_2\rightarrow f_1\sim f_2$
    \item[$\bullet$] \textbf{反身性}：$f\sim f$
\end{itemize}
上面的三条性质共轭全部满足，说的具体一点所有的$n\times n$矩阵构成一个群(这其实是个无限群)，共轭的概念就是矩阵之间的相似概念。
\begin{define}{类}
    群$G$可按共轭关系分割成一些等价类$A_a={gag^{-1}|\forall g\in G}$.称$A_a$为群$G$的元素$a$的共轭类，简称为群的$a$类.
\end{define}
共轭类有下面的性质：
\begin{itemize}
    \item (1)单位元素$e$自称一类；
    \item (2)Abel群中的所有元素都自成一类；
    \item (3)类中的所有元素的阶都相等。
\end{itemize}

由于两个共轭类之间也有类似陪集之间的不相交的性质，所以我们也很容易实现将一个群用其群元的类来分解，只要对每个元素确定其类即可。不过前面的陪集分解是分解为一系列
大小相等的等份，而按照类的分解就不一定是等分了，不过还是有下面类似的定理：
\begin{theorem}{类中的元素个数}
    有限群的每个元素确定的类中的元素的个数都是群的阶的因子
\end{theorem}
\begin{proof}
    我们的目的是找到群的任意元素$g$确定的类的元素个数。

    证明这个定理的第一步是证明$\forall g\in G$，定义$H_g\equiv\{h\in G|gh=hg\}$，也就是所有与$G$中元素互易的元素构成了$G$的一个子群。由于子群乘法的定义来源于$G$，是良好定义的，
    所以我们只需要证明封闭性和逆元存在性。

    先证封闭：$gh_1=h_1g,gh_2=h_2g\rightarrow gh_1h_2=h_1gh_2=h_1h_2g$

    再证有逆：$gh=hg\rightarrow h^{-1}g^{-1}=g^{-1}h^{-1}\rightarrow gh^{-1}=h^{-1}g\rightarrow h^{-1}\in H_g$

    第二步是将$G$陪集分解为$\{g_0H_g,g_1H_g,\ldots\}$，其中$g_0$是幺元。注意到每个陪集$g_iH_g$中，$h_\alpha$取遍$H_g$，也就是$g_i h_\alpha$取遍$g_iH_g$中的所有元素时，
    $(g_i h_\alpha )g(g_i h_\alpha )^{-1}$给出的是和$g$共轭的元素这是毋庸置疑的，我们要是能进一步证明其实给出的还是同一个元素，我们记为$\tilde{g_i}$，我们就把陪集$g_iH_g$和$g$类中的元素
    对应起来了，如果不同的陪集给出不同的元素，也就说还可证明这种对应是一一对应的。那么根据Lagrange定理，陪集$g_ih_g$将$G$等分，而$g$类中元素个数就是等分的份数，也就是$|G|$的因子。下面着手证明：

    $(1)$一个陪集对应一个$g$类中元素：$(g_i h_\alpha )g(g_i h_\alpha )^{-1}=(g_i h_\alpha )g( h_\alpha^{-1}g_i^{-1} )=g_i (h_\alpha g) h_\alpha^{-1}g_i^{-1}
    =g_i  g(h_\alpha h_\alpha^{-1})g_i^{-1} =\tilde{g_i}$
    
    $(2)$不同陪集给出不同元素：假设$g_iH_g\neq g_j H_g$，那么如果对应的元素相等：$g_igg_i^{-1}=g_jgg_j^{-1}$，那么$(g_j^{-1}g_i)g=g(g_j^{-1}g_i)\rightarrow g_j^{-1}g_i\in H_g$，
    根据重排定理$g_j^{-1}g_iH_g=H_g\rightarrow g_iH_g=g_jH_g$，与假设矛盾。\qed
\end{proof}
\begin{define}{共轭子群}
    $H\leq G,K\leq G$，如果$\exists g\in G\rightarrow gHg^{-1}\equiv\{ghg^{-1}|h\in H\}=K$
\end{define}
这个定义完全是照搬群元共轭的，后面用到的机会也不多。
\begin{define}{正规子群(不变子群)}
    如果子群$H$中的所有元素的同类元素都属于$H$，那么称$H$是$G$的不变子群或者说正规子群，在群元共轭操作下是不变的，记为$H\unlhd G$.
\end{define}
下面这个定理是和前面的定义等价的，有的书常常也用这个定理作为正规子群定义。
\begin{theorem}{正规子群左右陪集完全重合}
    $H\unlhd G\iff \forall g\in G,gH=Hg$
\end{theorem}
\begin{proof}
    先证必要性，等价于证明$H\unlhd G\rightarrow gHg^{-1}=H$.

    根据正规子群的定义，$\forall h_\alpha\in H\rightarrow gh_\alpha g^{-1}\in H\rightarrow gHg^{-1}\subseteq H$，反过来，还是根据正规子群的定义以及$g^{-1}\in G$，
    $\forall h_\alpha\in H$，一定存在$h_\beta\in H$，使得$g^{-1}h_\alpha (g^{-1})^{-1}=h_\beta$成立，而这意味着$h_\alpha=g h_\beta g^{-1}\in gHg^{-1}$，也就是说$gHg^{-1}\supseteq H$.这样我们便证明了必要性.

    再证充分性，$\forall h_\alpha\in H$，根据左右陪集相等，一定存在$h_\beta\in H$，使得$gh_\alpha g^{-1}=h_\beta$，而$g$是在$G$中任取的，这也便直接说明了$H$中元素的类都属于$H$.
    \qed
\end{proof}
对于正规子群，今后不用再区分左右陪集。
\begin{define}{单群(Simple Group)}
	没有非平凡正规子群的群称为单群。
\end{define}
对所有单群进行分类是当代数学最高的成就之一，其最终完结于2004年。
\begin{theorem}{两个陪集中元素的乘积必为第三个陪集中的元素}
    $H\unlhd G$，取$g_1H\neq g_2H$，且两陪集都不是子群本身，那么$\forall g_1h_\alpha\in g_1H,g_2h_\beta\in g_2H\rightarrow g_1h_\alpha g_2h_\beta\in g_3H$，其中$g_3H\neq g_1H,g_3H\neq g_2H$
\end{theorem}
\begin{proof}
    如果$g_1H=g_2H=g_0H$，两个陪集都是子群本身，那么显然得到的元素都是$H$中的元素；

    如果$g_1H,g_2H$中有一个是$g_0H$，那么显然最后得到的元素要么是$g_1H$中元素，要么是$g_2H$中元素。

    现在考虑$g_1H$和$g_2H$都不是$H$的情况，$g_1h_\alpha g_2 h_\beta=g_1g_2(g_2^{-1}h_\alpha g_2 )h_\beta$，根据正规子群定义，$g_2^{-1}h_\alpha g_2\equiv h_{\alpha^\prime}\in H$，
    如果$g_1h_{\alpha} g_2 h_\beta\in g_1H$，那么$\exists h_\gamma\in H$，使得$g_1h_\gamma=g_1g_2h_{\alpha^\prime} h_\beta\rightarrow g_2=h_\gamma h_\beta^{-1} h_{\alpha^\prime}^{-1}\in H$，根据重排定理这直接说明$g_2 H=H$.与假设矛盾，关于$g_1$的情形是对称的
    ，证明略去. 

    而且这个证明还让我们了解到这个新的陪集是$g_1g_2H$，所以两个陪集中的元素相乘给出的新的元素都来自于同一个新的陪集。
    
    你还可以简单的接纳下面这个非常\uwave{物理仁}的证明：\[(g_1H)(g_2H)=g_1(Hg_2)H=g_1(g_2H)H=g_1g_2(HH)=g_1g_2H\]
    
    \qed
\end{proof}
\begin{define}{商群}
    $H\unlhd G$，用这个不变子群对$G$进行陪集分解：$\{g_0H,g_1H,g_2H,\ldots,g_nH\}$.把其中的每一个陪集当作是一个新的元素，记$f_i=g_iH$.
    对这个陪集的集合定义新的乘法，$f_if_j=f_k$表示陪集$g_iH$和$g_jH$中的元素相乘得到$g_kH$中的元素.\textbf{那么这个陪集的集合在这个乘法的定义下构成一个群，称作$G$的一个商群}，记为$G/H$.
\end{define}

根据前面的乘法定义不难证明商群构成群。数学里面有很多涉及到“商”的定义，其实无非就是在根据某种等价关系对具有特殊结构的集合进行划分，并使之仍然保持这个特殊结构。划分之后得来的一系列等价类构成的集簇就成为“商集”，加上那些特殊数学结构便构成了商群等等概念。比如线性代数中的商空间就是在用仿射子集进行划分，点集拓扑中的商空间是在用粘合映射进行划分，而群论中的商群就是在用不变子群进行划分。

我们完全从等价类出发定义商群，基于不变子群$H$定义两个元素等价（注意这里不同于前面的群元素共轭了）$g_1\sim g_2 {\ }\mathrm{iff}{\ } \exists h\in H, g_1=h g_2$，全部的等价类合起来构成商群$G/H$.这些元素显然就是陪集$gH$，因为根据上面的定义，和$g$等价的所有元素构成的集合就是$\{gh|\forall h\in H\}$。


\begin{define}{群的生成集合}
	生成集合$S$是$G$的一个\textbf{子集}，且群$G$中的所有元素都可以用$S$中元素以及他们的逆的有限次乘积得到。
	我们也称$G$由$S$生成，记为$G=\Braket{S}$。
\end{define}

如果我们找到了群的生成集合，那么对于我们表述这个群将是极大的便利，只需要写出它的生成集合以及生成集合之间的乘法关系就好。比如对于二面体群$D_n$，也就是正n边形的对称群，$r$表示绕某个固定轴的旋转，$R$表示绕中心旋转$2\pi/n$，$I$表示单位元。则$D_n=\{I,R,R^2,\ldots,R^{n-1},r,Rr,R^2r,\ldots,R^{n-1}r\}$，显然{r,R}是生成集合，那么$D_n=\Braket{r,R|R^n=I,r^2=I,Rr=rR^{-1}}$.

对于任何一个群我们都可以按照下面的方式构造它的一个正规子群，当然可能最终得到的是平庸子群，如果非平凡，那么便立即知道群不是单的。
\begin{define}{换位子群(导群)}
	定义群的交换子\footnote{英文就是QM里面的对易子commutator，幸亏中文翻译上有区别，这两个其实完全不是一个东西。}$f,g\in G, [f,g]\equiv f^{-1}g^{-1}fg\in G$，换位子群$G^\prime=[G,G]$定义为：\textbf{由群的所有交换子的集合生成的群}.不难证明$G^\prime\lhd G $. 不过一定要注意这个概念是说生成集合是$[f,g]$，一般来说并不意味着群中的元素都有$[f,g]$交换子的形式.
\end{define}

比如$D_n$群$[R^k,R^\ell]=I,[R^k,R^\ell r]=R^{-2k}=R^{n-2k},[R^k,R^\ell r]=R^{2(k-\ell)}$，所以$D_n^\prime=\Braket{I,R^{n-2k},R^{2(k-\ell)}},k,\ell=0,1,\ldots,n-1$可知$D_4^\prime=\{I,R^2\}$.

还可以定义$G^{(0)}\equiv G,G^{(1)}\equiv G^\prime$从而套娃式定义$G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$，显然我们得到了：
\[\cdots G^{(2)}\lhd  G^{(1)}\lhd  G^{(0)}=G\]
如果这个序列最终在$n$有限的时候终止于$\{e\}$，我们就称这个群是\textbf{可解群}\footnote{如你所想，这个名称正是在研究$n$次多项式是否可用根式求解的时候提出来的。}，如果$G^{(1)}=G$，就称这个群是\textbf{完美的(Perfect)}.

关于换位子群还有一个和商群联系起来的定理：\[{\color{red} G/N\text{是阿贝尔群}\iff G^\prime<N}\].

\subsection{同构与同态}
\begin{define}{群同构}
    若从群$G\circ$到$F\star$上\footnote{后面的符号表示群乘法符号}存在一个一一对应的映射（同时满足单性和满性）$\Phi:G\mapsto F$，而且满足\textbf{乘积的映射等于映射的乘积}：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.1}
        \Phi(g_1\circ g_1)=\Phi(g_1)\star\Phi(g_2),\forall g_1,g_2\in G
    \end{equation}
    那么我们就称群$G$和$F$是同构的，记作$G\cong F$.
\end{define}
其实群的同构意味着两个群实质上代数结构完全一致，只是看起来指代不同的内容，关系过强从而意义有时并不大，下面我们弱化一下刚才的定义，得到所谓群同态的定义。
\begin{define}{群同态}
    若$\exists \Phi:G\mapsto F$，这个映射可以是多对一的，也不必是满映射，但是仍满足乘积的映射等于映射的乘积(\ref{eq:D.1}). 我们便称$G$与$F$同态，记为$G\sim F$.
\end{define}
上面的定义是数学中的定义，但物理中用的比较多的同态关系满足$\Phi(G)=F$，也就是说$\Phi$是满映射，这样我们之后表述定理就不必像数学家那样去用$\mathrm{range}\Phi$表述了，所以
之后谈同态，{\color{red}默认$\Phi$是满映射}。
\begin{figure}[h]
    \centering
    \subfigure[同构关系]{
        \includegraphics[width=0.4\linewidth]{fig/fig_D.1a.eps}
    }
    \quad
    \subfigure[同态关系]{
        \includegraphics[width=0.4\linewidth]{fig/fig_D.1b.eps}
    }
    \caption{同构与同态}
    \label{fig:D.1}
\end{figure}
我们还可以很容易得到同态和同构映射的两个重要性质：
\begin{itemize}
    \item \textbf{幺元映射为幺元}：$\Phi(g_0)=f_0$
    \item \textbf{逆元映射为逆元}：$\Phi(g^{-1})=\Phi(g)^{-1}$
\end{itemize}
\begin{define}{同态核}
    $G$中所有与$F$中单位元素$f_0$所对应的元素的集合：
    \[\mathrm{Ker}\Phi\equiv\{h\in G|\Phi(h)=f_0\}\]
\end{define}
这个定义和线性代数里面线性映射的核(Kernel)\footnote{有的书也叫做零空间}的定义是类似的。
\begin{theorem}{同态核定理}
    设$G\cong F$，$H$是同态核，那么：
    \begin{itemize}
        \item $H\unlhd G$
        \item $G/H\cong F$
    \end{itemize}
    注意这个定理的表述默认$\Phi$是满的，否则要用$\mathrm{Im}\Phi$替换$F$
\end{theorem}
\begin{proof}
    第一点是比较容易证明的，首先不难$H$是子群，我们再稍微说明一下它是不变子群。我们要证明的实际上是$\forall h\in H,\forall g\in G\rightarrow ghg^{-1}\in H$，注意到
    $\Phi(ghg^{-1})=\Phi(g)\Phi(h)\Phi(g^{-1})=\Phi(g)\Phi(g^{-1})=f_0$，便直接证明$H\unlhd G$.

    第二点的证明我们实际上是需要去构建一个合适的同构映射，我们自然的可以想到这样的一个映射，将$G/H$中的元素$g_iH$映射到$\Phi(g_i)$上，你可以按照前面的图\ref{fig:D.1}理解为图b中的每一个小圈圈对应$G/H$中的一个
    陪集，构造的同构映射就是在同态映射的基础上将每个小圈圈对应$F$中的一个元素. 根据同态的性质，满性已然成立，下面要证明的是单性，也就是不同陪集对应不同元素.

    还是利用反证法来证明. 设$g_iH$和$g_jH$是两个不同的陪集，但是对应相同的$F$中元素$f$，那么$\forall h\in H, \Phi(g_i^{-1}g_jh)=f^{-1}ff_0=f_0\rightarrow g_i^{-1}g_jh\in H\rightarrow g_i^{-1}g_j\in H$，
    再根据重排定理，$g_i^{-1}g_jH=H\rightarrow g_iH=g_jH$，与假设矛盾.
    \qed
\end{proof}

看前面的图\ref{fig:D.1}，这个定理实际上是在说与$F$中单位元素$f_0$对应的子群是$G$的一个不变子群，其它的小圈圈是他的陪集，所以每个小圈圈中的元素个数都相等，而且把这些小圈圈
单独看成一个个元素构成的商群和$F$同构。

\begin{define}{自然同态}
    如果$K\unlhd G$，那么映射$\pi:G\mapsto G/K$将$g$映射为陪集$gK$，建立了$G$和$G/K$之间的一个满同态\footnote[1]{也就是说$\mathrm{range}\pi=G/K$}，而且同态核为
    $\mathrm{Ker}\pi=K$.我们称这个同态映射$\pi$为群$G$的自然同态.
\end{define}
这个实际上进一步告诉我们同态核和正规子群是一样的，也就是说一个正规子群可以看做某个群同态的同态核，反之同态核一定是某个正规子群。证明的话其实就是同态核定理逆推回去。
\begin{define}{自同构映射}
    自同构映射建立的是群和它自己的同构映射，$\nu :G\mapsto G$，最平凡的例子就是恒等映射。    
\end{define}
\begin{define}{自同构映射群}
    所有的自同构映射构成了一个群，乘法定义就是复合映射概念，我们记为$A(G)$.
\end{define}
\begin{define}{内自同构映射}
    还有一类同构映射比较特殊，$\forall u\in G$，我们可以依此构造一个自同构映射，我们定义映射为$\nu(g)=ugu^{-1}$，其实就是去找某个与$g$同类的元素。和上面类似的，自同构映射放在一起也构成了一个群，
    即自同构映射群，记为$I(G)$.
\end{define}
下面我们证明\textbf{内自同构映射群是自同构映射群的不变子群}。
\begin{proof}
    $I(G)\leq A(G)$这一点很容易证明，下面我们要证明$\forall \mu\in I(G),\nu\in A(G)\rightarrow\nu\mu\nu^{-1}\in I(G)$. 设$g_\alpha,g_\beta\in G, 
    \mu(g_\alpha)=u g_\alpha u^{-1},\nu(g_\alpha)=g_\beta$，那么$\nu\mu\nu^{-1}(g_\beta)=\nu\mu(g_\alpha)=\nu(ug_\alpha u^{-1})=\nu(u)g_\beta \nu(u)^{-1}$，
    根据$I(G)$的定义便得知$I(G)\unlhd A(G)$.
    \qed
\end{proof}
\subsection{群作用与变换群}
\begin{define}{左右作用与伴随作用}
    $\bigstar$左作用：$\forall g\in G$可以定义一个左作用$L_g:G\rightarrow G$，效果为$\forall g^\prime \in G,L_gg^\prime\equiv gg^\prime$.
    
    $\bigstar$右作用：$\forall g\in G$可以定义一个右作用$R_g:G\rightarrow G$，效果为$\forall g^\prime \in G,R_gg^\prime\equiv g^\prime g^{-1}$.

    $\bigstar$伴随作用：$\forall g\in G$可以定义一个伴随作用$\mathrm{Ad}_g:G\rightarrow G$，效果为$\forall g^\prime \in G,\mathrm{Ad}_gg^\prime\equiv gg^\prime g^{-1}$.
\end{define}
伴随作用就是前面说的内自同构映射的概念，也是三个作用里面最为重要的一个，而其它两个都不是同构映射。

\begin{define}{变换和变换群}
    设变换对象$X$是一个非空集合，则双射$f:X\rightarrow X$称为$X$上的一个变换或置换。定义这些置换的乘法为$f\circ g(x)=f(g(x))$，则所有的这些置换构成了一个群，
    称为$X$上的完全对称群$S_X$， 一般所说的变换群是$S_X$的子群。如果$X$有$n$个元素，则称其上的完全对称群为$X$上的$n$阶置换群$S_n$.如果我们变换的对象还构成一个群，
    它也有完全对称群$S_G$.
\end{define}

回到前面左右作用的定义，我们发现右作用不是直接右乘，而是右乘逆元。$\forall g\in G$，我们可以确定左右作用$L_g,R_g$，而这个确定给每个群元确定一个左（右）作用的过程其实就是一个$G\to S_G$的映射，当然这个映射不是满的，
但是却是个同态映射，很容易确定$L_{gg^\prime}=L_gL_{g^\prime}$，$R$同理。
\begin{theorem}{Cayley定理}
    群$G$同构于其完全变换群$S_G$的一个子群
\end{theorem}
\begin{proof}
    显然$G$中生成的左作用$L_g$构成的群$\{L_g|g\in G\}$就是这个子群而且与$G$同构.\qed
\end{proof}
\begin{define}{等价与轨道}
    设$G$为$X$上的变换群，若对$x,y\in X,\exists g\in G$，使得$g(x)=y$，那我们便称$x$与$y$等价，记为$x\sim y$. $X$中所有与$x$等价的元素的集合称为$x$的$G$轨道：
    $\mathcal{O}_x^G\equiv\{g(x)|g\in G\}$.
\end{define}
\begin{define}{不变子集}
    设$G$为$X$上的变换群，$Y\subseteq X$，满足$G$中的任意元素$g$作用在$Y$中元素上得到的结果还属于$Y$，那我们称$Y$为群$G$在$X$上的不变子集。
\end{define}
其实这个概念和线性代数里面的不变子空间概念是很像的。$\mathcal{O}_x^G$以及它们的并显然就是一些不变子集。
\begin{define}{迷向子群}
    设$G$为$X$上的变换群，$x\in X$，若$G^{x}\leq G$且保持$x$不变，即$G^{x}=\{h\in G|h(x)=x\}$，则称$G^{x}$是$G$对$x$的迷向子群。
\end{define}
\begin{define}{$\mathcal{O}_x^G$和$G^{x}$的左陪集一一对应}
    $G^{x}$的每个左陪集把$x$映为其$G$轨道上的点，且不同陪集映射到不同点。
\end{define}
由此我们便知$|\mathcal{O}_x^G|=|G|/|G^{x}|$.
\subsection{直积与半直积}
笛卡尔直积$\times$的概念就是两个集合中各取一个元素构成一个有序对来生成新的集合，我们进一步定义这个集合元素间的乘法是可以将其升级为群的。\footnote{注意这一节中很多教材也把直积的符号写作$\otimes$，而将半直积的符号写作$\otimes_s$，符号就和向量空间张量积符号差不多了，张量积(直积)群中的群元具有$g_1\otimes g_2$的形式，不用括号去表示。}
\begin{define}{直积群}
    两个群中各取一个群元$g_{1\alpha},g_{2\beta}$构成一个有序对$g_{\alpha\beta}=(g_{1\alpha},g_{2\beta})$，且定义乘法，$g_{\alpha\beta}\times g_{\alpha^\prime\beta^\prime}
    =(g_{1\alpha}g_{1\alpha^\prime},g_{2\beta}g_{2\beta^\prime})$. 在这个乘法意义下这些有序对形成了一个新的群$G$，记为$G_1,G_2$的直积群$G_1\otimes G_2$.
\end{define}
\begin{define}{直积分解}
    若群$G$中的元素都可以唯一地拆写为$g_{\alpha\beta}=g_{1\alpha}g_{2\beta}$，其中$g_{1\alpha}\in G_1,g_{2\beta}\in G_2$，而且两个群之间的元素乘法满足交换律，即$\forall g_1\in G_1,g_2\in G_2\rightarrow g_1g_2=g_2g_1$，那
    自然的我们便将$G$中元素写成了有序对的形式，而且$G=G_1\otimes G_2$，$G_1,G_2$称为直积因子。
\end{define}

这里我们区分一下两概念，第一个在数学上叫外直积，是集合里的笛卡尔积的类比，而真正用的多的是后面的直积概念，在数学上叫内直积，其才是线性空间里面直和分解的对应。

我们举一个内直积的例子：$S_n\otimes S_m \subset S_{n+m}$，也就是说两个置换群的（内）直积群同构于更大的置换群的子群。我们以$S_2\otimes S_3$来说明这一点。\footnote{涉及到后面$\S D.3$的知识}

我们用$\{1,2\}$之间的置换标记$S_2$，$\{3,4,5\}$之间的置换标记$S_3$，显然这两种置换构成的群都是$S_5$的子群，而且元素相互对易，毕竟置换的数码没有相同的。而且诸如$(12)(345)$这样的元素确实构成了$S_5$的一个子群。


\begin{theorem}{直积因子的结构关系}
    群$G$的直积因子$G_1$和$G_2$满足：
    \begin{itemize}
        \item \textbf{只有一个公共元素幺元}：$G_1\cap G_2={e}$
        \item \textbf{都是正规子群}：$G_1\unlhd G, G_2\unlhd G$
    \end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
    第一点使用反证法证明，如果$G_1\cap G_2=a\neq e$，那么$G$中元素$a$可以写为$a=a\cdot e=e\cdot a$，都是前者属于$G_1$后者属于$G_2$，但显然拆分不唯一，不是直和分解定义。

    再看第二点，以$G_1$为例。$\forall g_1\in G,g=g_\alpha g_\beta\in G\rightarrow (g_\alpha g_\beta)g_1(g_\alpha g_\beta)^{-1}=g_{\alpha} g_1 g_{\alpha}^{-1}\in G_1$\qed
\end{proof}

\begin{define}{半直积}
    对于群$G_1$，如果$G_2\sim A(G_1)$，也就是说对于$G_2$中任意一个元素都能找到对应的一个$G_1$群的自同构映射$\nu_{g_{2\beta}}$.我们定义$G_1$和$G_2$之间元素构成的有序对集合$G=\{\left \langle g_{1\alpha},g_{2\beta}\right\rangle\}$
    之间的乘法满足
    \[\left\langle {{g_{1\alpha }},{g_{2\beta }}} \right\rangle  \times \left\langle {{g_{1\alpha '}},{g_{2\beta '}}} \right\rangle  = \left\langle {{g_{1\alpha }}{\nu _{{g_{2\beta }}}}({g_{1\alpha '}}),{g_{2\beta }}{g_{2\beta '}}} \right\rangle \]
    这样构造的新群称为$G_1,G_2$的半直积群，记为$G_1 \rtimes G_2$.
\end{define}
要证明这样定义乘法的正确性，注意$\nu_{g_{\beta}}(g_{\alpha}g_{\alpha^\prime})=\nu_{g_{\beta}}(g_{\alpha})\nu_{g_{\beta}}(g_{\alpha^\prime})$和$\nu_{g_\alpha g_\beta}=\nu_{g\alpha}\nu_{g_\beta}$即可。

从定义就可以看出来$G_1,G_2$的地位不是对称的，实际上这里$G_1\unlhd G$而$G_2$不再有这一性质。

\section{群表示论}
这一节我们的首要任务就是将一个抽象的群用具体的矩阵表示出来，基本工具是附录B中的线性代数。
\subsection{群表示基本概念}
\begin{define}{线性变换群}
    定义线性空间$V$上两个线性变换的乘法为它俩的相继作用，那么$n$维复线性空间$V$上的全部\textbf{非奇异}线性变换构成了一个群，称为复一般线性变换群，记为$GL(V,\mathbb{C})$.
    用的更多的是它的任一子群$L(V,\mathbb{C})$称为$V$上的线性变换群。
\end{define}
上面的定义中需要注意的是\uwave{非奇异}这个条件，否则就不满足逆元存在这一条件了。另外，对于实向量空间，也可对应定义$GL(V,\mathbb{R})$、$L(V,\mathbb{R})$，只是用的少些罢了。

\begin{define}{线性表示}
    对于群$G$，如果存在一个从$G$到线性空间$V$上的某个线性变换群$L(V,\mathbb{C})$的同态映射$\mathscr{A}$，那么我们称$\mathscr{A}$是群$G$的一个线性表示，$V$是表示空间，
    $\dim V$是表示的维数。如果我们选取了$V$上的一组基，那么$\mathscr{A}(g)$就可以和一个矩阵$\mathcal{A}(g)$联系起来\footnote[1]{今后用花体$\mathscr{A}$作为群表示符号，手写体$\mathcal{A}$作为对应矩阵的符号。}，所以物理上常常也就说群表示就是用矩阵表示一个抽象群。
\end{define}
\begin{define}{忠实表示}
    如果表示$\mathscr{A}$是一个同构映射，那我们称他为忠实表示。
\end{define}
从上面的这些定义可以看出群表示有无穷多个，比如把所有群元对应到恒等映射$\{I\}$就是一个表示，称为平庸表示，而且不同表示之间其实还可以相互联系，我们真正关系的是那些不可约且相互不等价的表示。
\begin{define}{等价表示}
    如果两个$V$上的表示$\mathscr{A},\mathscr{B}$可以由$V$上的一个非奇异变换$P$联系起来，即$\mathscr{B}(g)=P^{-1}\mathscr{A}(g)P$，其中$P$与群元$g$无关，我们就称
    两个表示等价。
\end{define}
这个还可以这么理解，我们在同一个基底下写下两个表示的矩阵$\mathcal{A},\mathcal{B}$，根据上面的定义，$\mathcal{B}=P^{-1}\mathcal{A}P$，也就是说这两组矩阵由一个相似变换联系起来，
况且我们还知道，两个相似的矩阵可以看成是同一个线性变换在不同基底下的矩阵表示，基于这些，我们便可以理解为啥这么定义表示等价了。

等价表示还可以稍微推广一下，$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$不一定要是同一个表示空间，若它们处于两个同维的(也必定同构)的表示空间$V_A,V_B$，只要能用一个同构映射$P:V_A\mapsto V_B$像上面那样联系起来就是等价表示。

\begin{define}{可约表示}
    $\mathscr{A}$是群$G$在$V$上的表示，如果存在一个$G$不变的$V$的真子空间\footnote[1]{$W\subset V,W\neq V,W\neq \varnothing$}$W$，其中$G$不变意味着$\forall g\in G, \ket{v}\in W,\mathscr{A}(g)\ket{v}\in W$，
    也就是所有的线性变换$\mathscr{g}$的不变子空间的交集。那我们就称表示$\mathscr{A}$是可约的。
\end{define}
从矩阵的观点来看其实就是\textbf{存在}一组$V$中的基底$\left\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_m,\mathbf{e}_{m+1},\right.\\\left.\ldots,\mathbf{e}_n\right\}$，其中$W=\mathrm{span}\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_m\}$在这个基底的选取下，$\mathscr{A}$表示的矩阵都是下面的形式：
\begin{equation}
    \label{eq:D.2}
    \mathcal{A}(g)=\begin{pmatrix}
    R(g) &N(g) \\
     {0} & B(g)
   \end{pmatrix}
\end{equation}

那显然对于$\ket{v}=\begin{pmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_m&0&\cdots&0\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}\in W$，有$\mathcal{A}(g)\ket{v}\in W$. 最直观的判断一个群表示是否可约的方法
就是看他的矩阵表示有没有\ref{eq:D.2}的形式，另外，如果一个群表示的矩阵没有\ref{eq:D.2}的形式也有可能是基底没有选对，不能直接就说群表示不可约。

群表示可约其实就是说这个群表示可以由更加基本的“小”一些的表示构成，比如这里就可以拆分出一个独立的，小一些的在$V$的子空间$W$中的表示$R(g)$. 但是这里$\mathscr{A}$可以拆出来一个$\mathscr{R}$，但是$V$中$W$之外的
那一部分空间并不能保证也是$G$不变的，也就是说$\mathscr{A}$可约，但是这种拆分不能进行到底，与之对应的就是下面的完全可约的概念。
\begin{define}{直和分解}
    两个线性空间$W$和$U$的和定义为，$U+W\equiv \{\ket{u}+\ket{w}|\forall \ket{u}\in U,\ket{w}\in W\}$，如果$V$中的任意一个向量$\ket{v}$可以分解为$\ket{u}+\ket{w}$，其中
    $\ket{u}\in U,\ket{w}\in W$，那么显然$V$可以写成$U+W$的形式。进一步如果这种分解是\textbf{唯一的}，那么我们称$V$是$U$和$W$的直和，记为$V=U\oplus W$.

    \setlength\parindent{2em}这种唯一分解的条件，或者说两个线性空间的和是直和的条件等价于$U\cap W={0}$.这有点像群的直积分解的条件，也是判断和是直和的简易手段。
\end{define}

显然一个线性空间$V=\mathrm{span}(e_1,\ldots,e_n)$一定可以进行直和分解，至少可以分解为$V=U\oplus W,U=\mathrm{span}(e_1,\ldots,e_m),W=\mathrm{span}(e_{m+1},\ldots,e_n)$.
\begin{define}{完全可约}
    如果$\mathscr{A}$的表示空间可以直和分解为$V=U\oplus W$，而且$U$和$W$都是$G$不变的，那么我们就称$\mathscr{A}$表示完全可约。
\end{define}
这个定义其实就是说我们可以选取一组$V$中的基底$\left\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_m,\mathbf{e}_{m+1},\right.\\\left.\ldots,\mathbf{e}_n\right\}$，其中$W=\mathrm{span}\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_m\},V=\mathrm{span}\{\mathbf{e}_{m+1},\ldots,\mathbf{e}_n\}$在这个基底的选取下，
$\mathcal{A}(g)$有如下形式：
\begin{equation}
    \label{eq:D.3}
    \mathcal{A}(g)=\begin{pmatrix}
        \mathcal{R}_2(g) &{0} \\
         {0} & \mathcal{R}_2(g)
       \end{pmatrix}
\end{equation}

用线性代数中的术语就是$\mathcal{A}(g)$都是可以分块对角化的，而且这种对角化是同时的。显然现在$\mathscr{A}$可以分解为两个较小的表示，两个表示空间和起来才是$V$，
我们记为$\mathscr{A}=\mathscr{R}_1\oplus\mathscr{R}_2$.进一步如果$\mathscr{R}_1,\mathscr{R}_2$也是完全可约表示，那最后我们就可以将$\mathscr{A}$约化为不可约表示的直和：
$\mathscr{A}=\bigoplus_p m_p\mathscr{A}^p$. $m_p$指的是表示$\mathscr{A}^p$的重数，矩阵观点来看就是在某组基底下$\mathcal{A}(g)$都是分块矩阵，而且这些“块”不止两个，$m_p$意思就是相同的块有多少个。

\begin{theorem}{定理}
    对于\textbf{有限群}，表示可约则完全可约
\end{theorem}
\begin{proof}
    $\mathscr{A}$可约意味着在某组基底下有：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.4}
        \mathcal{A}(g)=\begin{pmatrix}
            \mathcal{R}_2(g) & \mathcal{N}(g) \\
             {0} & \mathcal{R}_2(g)
           \end{pmatrix}
    \end{equation}
    下面我们要证明存在一组基底，或者说存在与群元$g$无关的$P$使得：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.5}
        P^{-1}\mathcal{A}(g)P=\begin{pmatrix}
            \mathcal{R}_2(g) &{0} \\
             {0} & \mathcal{R}_2(g)
           \end{pmatrix}
    \end{equation}
    我们假设$P$的形式为：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.6}
        P=\begin{pmatrix}
            \mathbbm{1}_m &\mathcal{C} \\
             {0} & \mathbbm{1}_{n-m}
           \end{pmatrix}
    \end{equation}
    \ref{eq:D.4},\ref{eq:D.5},\ref{eq:D.6}联合计算后发现等价于找到一个与$g$无关的$C$满足：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.7}
        \mathcal{R}_1(g)\mathcal{C}+\mathcal{N}(g)=\mathcal{C}\mathcal{R}_1(g)
    \end{equation}
    
    又因为$\mathscr{A}$是群表示，所以同态满足$\mathcal{A}(g_\alpha g_\beta)=\mathcal{A}(g_\alpha)\mathcal{A}(g_\beta)$，即$\mathcal{A}(g)\mathcal{A}(g^{-1})=\mathbbm{1}$.代入矩阵运算后得到：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.8}
        \mathcal{R}_1(g)\mathcal{R}_1(g^{-1})=\mathbbm{1}_{m},\quad\mathcal{R}_2(g)\mathcal{R}_2(g^{-1})=\mathbbm{1}_{n-m}
    \end{equation}
    上面的式子实际上是$g_\beta$取$g_\alpha^{-1}$的特殊情况，更一般的有：
    \begin{equation*}
        \mathcal{R}_1(g_\alpha)\mathcal{R}_1(g_\beta)=\mathcal{R}_1(g_\alpha g_\beta),\quad \mathcal{R}_2(g_\alpha)\mathcal{R}_2(g_\beta)=\mathcal{R}_2(g_\alpha g_\beta)
    \end{equation*}
    而且：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.9}
        \mathcal{R}_1{g_\alpha}\mathcal{N}(g_\beta)+\mathcal{N}(g_\alpha)\mathcal{R}_2(g_\beta)=\mathcal{N}(g_\alpha g_\beta)
    \end{equation}
    将$\ref{eq:D.7}$两侧同时乘上$\mathcal{R}_2(g^{-1})$并根据\ref{eq:D.8}得到：
    \begin{equation}
        \label{eq:D.10}
        \mathcal{R}_1(g)\mathcal{C}\mathcal{R}_2(g^{-1})=\mathcal{C}-\mathcal{N}(g)\mathcal{R}_2(g^{-1})
    \end{equation}
    这个$\mathcal{C}$的构造就属于是神来之笔了：
    \begin{equation}
        \mathcal{C}=\frac{1}{|G|}\sum_{g_\alpha\in G}\mathcal{N}(g_\alpha)\mathcal{R}_2(g_{\alpha}^{-1})        
    \end{equation}
    我们对$G$中所有群元求和，所以$\mathcal{C}$自然与$g$无关.代入\ref{eq:D.10}验证：
    \begin{align*}
        \mathrm{LHS}&=\mathcal{R}_1(g_\alpha)\frac{1}{|G|}\sum_{g_\alpha\in G}\mathcal{N}(g_\alpha)\mathcal{R}_2(g_{\alpha}^{-1})\mathcal{R}_2(g^{-1})\\
        &=\frac{1}{|G|}\sum_{g_\alpha\in G}\mathcal{R}_1(g_\alpha)\mathcal{N}(g_\alpha)\mathcal{R}_2((gg_{\alpha})^{-1})\\
        &\overset{\ref{eq:D.9}}{=}\frac{1}{|G|}\sum_{g_\alpha\in G}\left[\mathcal{N}(gg_\alpha)-\mathcal{N}(g)\mathcal{R}_2(g_\alpha)\right]\mathcal{R}_2((gg_\alpha)^{-1})\\
        &=\frac{1}{|G|}\sum_{g_\alpha\in G}\left[\mathcal{N}(gg_\alpha)\mathcal{R}_2((gg_\alpha)^{-1})\right]-\frac{1}{|G|}\sum_{g_\alpha\in G}\mathcal{N}(g)\mathcal{R}_2(g^{-1})
    \end{align*}
   
    根据重排定理，$g_\alpha$走遍$G$，$gg_\alpha$便也走遍了$G$，所以上式的第一项等于$\mathcal{C}$，第二部分由于求和与$g$无关，所以等于$\mathcal{N}(g)\mathcal{R}_2(g^{-1})$.
    这样便验证了\ref{eq:D.10}.\qed
\end{proof}    
上面的证明我们用到了对$G$所有群元的求和，所以这个定理\textbf{只适用于有限群}。
\begin{define}{酉(幺正)表示}
    这个表示依赖于一个内积空间$V$，满足$\mathscr{U}^\dagger(g)\mathscr{U}(g)=\mathbbm{1}$，其中$\mathscr{U}^\dagger(g)$是$\mathscr{U}(g)$的伴随算符，\textbf{如果选取的是正交归一基底}，则$\mathscr{U}^\dagger(g)$
    的矩阵为$\mathcal{U}$的厄米共轭，即$\tilde{\mathcal{U}}^{*}$.
\end{define}
\begin{theorem}{定理}
    酉表示可约则完全可约
\end{theorem}
有了上面更强的关于有限群的可约表示定理，这个定理看起来没那么重要了，不过它的证明要更加简单。
\begin{proof}
    $\mathscr{U}$是可约酉表示，那么$\exists W\subset V\rightarrow \forall g\in G,\forall\ket{w}\in W,\mathscr{U}(g)\ket{w}\in W$，注意到内积空间$V$都可以进行直和分解为$V=W\oplus w^{\perp}$.
    其中$W^{\perp}$是$W$的正交补，定义为$W^{\perp}\equiv \{\ket{v}\in V|\braket{v|w}=0,\forall \ket{w}\in W\}$. 

    我们下面要证明$W^{\perp}$也是$G$不变的，$\forall \ket{v}\in W^{\perp},\ket{w}\in W\rightarrow \braket{v|w}=0\rightarrow\braket{v|\mathbbm{1}|w}=\braket{v|\mathscr{U}^\dagger(g)\mathscr{U}(g)|w}=\braket{\mathscr{U}(g)v|\mathscr{U}(g)w}=0$
    ，注意到$\mathscr{U}(g)\ket{w}\in W$所以根据正交补定义$\mathscr{U}(g)\ket{v}\in W^{\perp}$，这里$g$是任取的，$\ket{v}$也是任取的，所以我们证明了$W^{\perp}$也是$G$不变的.\qed
\end{proof}
\subsection{群代数与正则表示}
\begin{define}{代数}
    代数就是带有一个乘法结构的向量空间$V$，我们记为$R$，这个乘法结构定义要满足一下三点：
    \begin{itemize}
        \item[$\bullet$]\textbf{封闭性}：$\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in R\rightarrow \mathbf{x}\mathbf{y}\in R$
        \item[$\bullet$]\textbf{乘法分配律}：$\mathbf{x}(\mathbf{y}+\mathbf{z})=\mathbf{x}\mathbf{y}+\mathbf{x}\mathbf{z},(\mathbf{x}+\mathbf{y})\mathbf{z}=\mathbf{x}\mathbf{z}+\mathbf{y}\mathbf{z}$
        \item[$\bullet$]\textbf{数乘可结合交换}：$V$是定义在数域$K$上的向量空间，则有$\forall a\in K\rightarrow a(\mathbf{x}\mathbf{y})=a(\mathbf{x})\mathbf{y}=\mathbf{x}(a\mathbf{y})$
    \end{itemize}
\end{define}

注意上面的定义是不要求交换律$\mathbf{x}\mathbf{y}=\mathbf{y}\mathbf{x}$的，也是不要求满足乘法结合律$(\mathbf{x}\mathbf{y})\mathbf{z}=\mathbf{x}(\mathbf{y}\mathbf{z})$的。 满足结合律的代数结构称为结合代数。
群自然的有乘法结构，那么我们不妨先给他赋予一个线性空间结构，再进一步定义代数。
\begin{define}{群空间}
    群空间$V_G$是定义在复数域$\mathbb{C}$上的一个线性空间，我们取$G$中的元素为自然基底，也就是认为它们是线性无关的，然后它们的线性组合作为$V_G$中元素张成的空间就称为群空间。
    定义加法和数乘满足一下两点便满足线性空间条件：

    $\forall\mathbf{x}=\sum\limits_\alpha x_\alpha g_\alpha,\mathbf{y}=\sum\limits_\alpha y_\alpha g_\alpha\in V_G,\forall a\in \mathbb{C}$有：
    \begin{itemize}
        \item $\mathbf{x}+\mathbf{y}=\sum\limits_\alpha(x_\alpha +y_\alpha)g_\alpha$
        \item $a\mathbf{x}=\sum\limits_\alpha (ax_\alpha) g_\alpha$
    \end{itemize}

    显然群空间的维数为$|G|$
\end{define}
\begin{define}{群代数}
    我们将群的自然乘法定义为群代数中的乘法结构得到群代数$R_G$，也即对于上面群空间中定义的$\mathbf{x},\mathbf{y}\in V_G$有乘法：
    \[\mathbf{x}\mathbf{y}=\left(\sum\limits_\alpha x_\alpha g_\alpha\right)\left(\sum\limits_\beta y_\beta g_\beta\right)=\sum\limits_{\alpha,\beta}x_\alpha y_\beta (g_\alpha g_\beta)\]
    当然我们还可以更加优雅的作这个求和，定义$g_\gamma=g_\alpha g_\beta$，上面的求和可以写为：
    \[\mathbf{x}\mathbf{y}=\sum\limits_{\gamma}(\mathbf{x}\mathbf{y})_\gamma g_\gamma\]
    这里$(\mathbf{x}\mathbf{y})_\gamma$其实就是那些分量乘积为$g_\gamma$的系数贡献。
\end{define}

不难验证上面定义的群代数其实还是一个结合代数，我们用一个计算例子来说明上面的两个求和。

\begin{table}[h]
    \centering
    \begin{tabular}{l|l|l|l}
    $C_3$ & $e$ & $d$ & $f$ \\ \hline
    $e$   & $e$ & $d$ & $f$ \\ \hline
    $d$   & $d$ & $f$ & $e$ \\ \hline
    $f$   & $f$ & $e$ & $d$
    \end{tabular}
    \caption{$C3$群乘法表}
    \label{tab:D.1}
\end{table}
\begin{example}{群代数乘法}
    我们考虑$C_3$群，其实也就是三阶循环群，是个Abel群，乘法表为\ref{tab:D.1}.

    取群空间中两个向量$\mathbf{x}=e+2d+3f,\mathbf{y}=2e+3d+f$，作乘法：
    
    {\itshape\textbf{Method1}}: 直接按照乘法分配律进行展开：
    \begin{align*}
        \mathbf{x}\mathbf{y}&=(e+2d+3f)(2e+3d+f)\\
        &=2e+3d+f+4d+6dd+2df+6f+9fd+3ff\\
        &=2e+3d+f+4d+6f+2e+6f+9e+3d\\
        &=13e+10d+13f
    \end{align*}
    {\itshape\textbf{Method2}}: 最后乘积一定是$e,d,f$的展开式
    \begin{itemize}
        \item 先看$e$：$ee=df=fd=e$，所以总的贡献是$x_ey_e+x_dy_f+x_fy_d=2+2+9=13$
        \item 再看$d$：$ed=de=ff=d$，所以总的贡献是$x_ey_d+x_dy_e+x_fy_f=3+4+3=10$
        \item 最后看$f$：$ef=fe=dd=f$，前面的系数为$x_ey_f+x_fy_e+x_dy_d=1+6+6=13$
    \end{itemize}
    
    所以最终依然得到：$\mathbf{x}\mathbf{y}=13e+10d+13f$
\end{example}

既然现在有了群空间和群代数的定义，我们可以在前面的群作用的启发下来定义一个群表示。
\begin{define}{正则表示}
    $\forall g\in G$确定了一个$V_G$上的线性变换$\mathscr{L}(g)$，因为：
    $$\forall \mathbf{x}\in V_G,\mathscr{L}(g)\mathbf{x}\equiv g\sum\limits_\alpha x_\alpha g_\alpha=\sum\limits_\alpha x_\alpha gg_\alpha\in V_G$$

    \setlength\parindent{2em}那显然$\mathscr{L}(g_\alpha g_\beta)=\mathscr{L}(g_\alpha)\mathscr{L}( g_\beta)$，所以$\mathscr{L}$是群空间的一个线性表示，我们称为\textbf{左正则表示}。而且由于$g_\alpha\neq g_\beta\iff\mathscr{L}(g_\alpha)\neq \mathscr{L}(g_\beta)$，
    也即不同元素对应不同映射，所以它还是一个\textbf{忠实表示}。

    \setlength\parindent{2em}同样的我们可以定义\textbf{右正则表示}$\mathscr{R}$，为了保证同构关系，注意是右乘逆元而不是直接右乘。

    \setlength\parindent{2em}群空间中取群元为自然基底都可以很容易写出两正则表示的矩阵形式。
\end{define}

\subsection{特征标理论及正交完备性定理}
讲这些之前我们先补充一下必要的线性代数知识\footnote{弱化了一些结论的证明，详情参看{\itshape Linear Algebra Done Right}}。
\begin{define}{线性映射的核}
    对于$V\mapsto W$的线性映射$T$，定义$T$的核\footnote{有的数学书上也称为零空间，记为$\mathrm{null}T$}为：
    \[\mathrm{Ker}T\equiv\{\mathbf{v}\in V|T\mathbf{v}=\mathbf{0}\subset V\}\]
\end{define}
\begin{theorem}{线性映射基本定理}
    $T:V\mapsto W$是一个线性映射，值域记为$\mathrm{Range}T$，那么有：
    \begin{equation}
        \dim V=\dim \left(\mathrm{Ker}T\right)+\dim \left(\mathrm{Range}T\right)
    \end{equation}
\end{theorem}
\begin{define}{线性空间的同构}
    如果$\exists T:V\mapsto W$的线性映射，而且是一个一一对应的映射（称为同构映射），那么我们称两线性空间同构，记为$V\cong W$.
\end{define}
\begin{theorem}{同构映射与单性和满性等价}
    $T:V\mapsto W\text{是同构映射}\iff \mathrm{Ker}T=\{0\}\wedge\mathrm{Range}T=W$
\end{theorem}
\begin{proof}
    必要性是显然的，我们证一下充分性，只需要证明不同元素对应不同元素即可。

    用反证法，如果$v\neq u\rightarrow Tv=Tu$，那么$T(v-u)=0\rightarrow v-u\in\mathrm{Ker}T$，而$v-u\neq \mathbf{0}$与$\mathrm{Ker}T=\{0\}$矛盾，故得证。\qed
\end{proof}
\begin{theorem}{两线性空间等价的充要条件}
    $V\cong W\iff \dim V=\dim W$
\end{theorem}
\begin{proof}
    结合线性代数基本定理以及同构映射的性质可以很快得知充分性，我们说明一下必要性。

    如果两空间维数相等$\dim V=\dim W$，基底分别为$\{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\}$和$\{\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_n\}$，那么可以定义
    一个映射$T(e_i)=f_j$.根据基底的线性无关性和线性映射的性质很容易证明这个映射是个同构映射。\qed
\end{proof}
\begin{theorem}{子空间维数不大于空间维数}
    若$U\subset{V}$，那么$\dim U\leq \dim V$
\end{theorem}
\begin{proof}
    维数定义可以看作是最大无关组中向量个数，也可看作是基底中向量个数，如果$\dim U > \dim V$，那也就是说$V$中存在一组长度大于其维数的线性无关组，这显然是不可能的.\qed
\end{proof}
\begin{theorem}{复向量空间中的线性算子一定存在本征矢}
    对于定义在$\mathbb{C}$上的线性空间$V$，其上的任意一个线性算子$T:V\mapsto V$，一定$\exists v\in V\rightarrow Tv=\lambda v$，且$v\neq\mathbf{0}$，$\lambda\in\mathbb{C}$称为本征值。
    所有这些$v$构成了一个$T$不变线性子空间，称为$T$的本征值为$\lambda$的本征空间\footnote{另外还有广义本征空间定义为$G(\lambda,T)=\mathrm{Ker}\left(T-\lambda E\right)^{\dim V}$，物理上比较少用，与算子的约当对角化有关}，记为$\mathrm{E}(\lambda,T)$
\end{theorem}
上面的定理证明涉及到多项式基本定理，这里略去。
\begin{theorem}{算子的对角化}
    算子能否对角化取决于其线性空间是否能够写成其本征空间的直和形式$V=\bigoplus\limits_i \mathrm{E}(\lambda_i,T)$，这也等价于几何重数等于代数重数$\dim E(\lambda_i,T)=\dim G(\lambda_i,T)$.并非所有算子都满足这一条件
    不过任何复向量空间中的算子都可以约当对角化，等价于$V=\bigoplus\limits_i G(\lambda_i,T)$
\end{theorem}

这一节最重要的两个定理就是正交性定理和完备性定理，为了引出这个定理我们需要证明一堆引理，这一节也是群论最重要的一节内容。

\begin{theorem}{Schur's First Lemma\\不可约不等价表示不可能用一个矩阵联系起来}
    如果$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$分别是群$G$在有限维向量空间$V_A,V_B$上的\textbf{不可约}表示，$M\in \mathcal{L}(V_A,V_B)$，且$\forall g\in G\rightarrow M\mathscr{A}(g)=\mathscr{B}(g)M$.那么下面两个命题成立\footnote{但是$M=0$不能说明$\mathscr{A},\mathscr{B}$不等价，因为$p\rightarrow q ,\neg p\rightarrow\neg q$两者真值表不同}：
    \begin{itemize}
        \item 表示$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$不等价时，$M=0$
        \item $M \neq 0$则$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$必等价
    \end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
    这两个命题互为逆否命题，我们证明第一句就好。利用反证法证明，设两表示不等价且$M\neq 0$，分三步走.
    
    {\itshape \textbf{Step1}}: $\forall v\in\mathrm{Ker}M,\forall g\in G, M\mathscr{A}(g)v=\mathscr{B}(g)Mv=\mathbf{0}\rightarrow\mathscr{A}(g)v\in\mathrm{Ker}M$
    所以$\mathrm{Ker}M$是$G$不变的，但是$\mathrm{Ker}M\subset V_A$，但是$\mathscr{A}$是不可约表示，所以$\mathrm{Ker}M$只能够是$\{\mathbf{0}\}$或者$V_A$.

    {\itshape \textbf{Step2}}: 若$\mathrm{Ker}M=V_A$由线性代数基本定理知$\dim(\mathrm{Range}M)=0$，这就意味着$M=0$，与假设矛盾。
    
    {\itshape \textbf{Step3}}: 那么现在考虑$\mathrm{Ker}M=\{\mathbf{0}\}$的情况.
    按照{\itshape \textbf{Step1}}中的做法我们可以证明$\mathrm{Range}M$也是$G$不变的，$\forall v\in \mathrm{Range}M,g\in G\rightarrow \mathscr{B}(g)v\in\mathrm{Range}M$.
    而$\mathscr{B}$也是不可约表示，所以$\mathrm{Range}M$只能够是$\{\mathbf{0}\}$或者$V_B$. 但是我们又假设了$M\neq 0$，所以$\mathrm{Range}M$只能是$V_B$.
    这说明$M$同时满足单性和满性，$M$是同构映射，$V_A\cong V_B$. $M^{-1}$是存在的，$M\mathscr{A}(g)=\mathscr{B}(g)M\iff \exists M,\mathscr{A}(g)=M^{-1}\mathscr{B}(g)M$.
    说明了两表示等价，与前面矛盾，所以无论如何都出现了矛盾，最终只能是$\mathrm{Ker}M=A$，$M=0$.\qed
\end{proof}
\begin{theorem}{Schur's Second Lemma\\与所有不可约表示的表示矩阵对易的矩阵必为常数矩阵}
    设$\mathscr{A}$是群$G$在有限维复线性空间$V$上的一个\textbf{不可约表示}，若$V$上的算子$M$满足$\forall g\in G,M\mathscr{A}(g)=\mathscr{A}(g)M$，则
    $M=\lambda I$，$\lambda\in\mathbb{C}$，$I$是恒等映射.
\end{theorem}
\begin{proof}
    复向量空间上的算子一定有非零本征矢，所以$\forall v\in E(\lambda,M),Mv=\lambda v$，再根据$M$与任意的$\mathscr{A}(g)$对易，$\mathscr{A}(g)Mv=M\mathscr{A}(g)v=\lambda\mathscr{A}(g)v$.
    也就是说$E(\lambda,M)$是$G$不变的，而$\mathscr{A}$是不可约的，而且对于复线性空间上算子$E(\lambda,M)\neq \{0\}$，所以$E(\lambda,M)=V$，也即$M=\lambda I$.
\end{proof}
利用这个定理不难证明下面的推论：
\begin{proposition}{Schur引理的一个推论}
	设$\mathscr{A}$是有限群$G$的一个不可约表示，$C$是$G$中任意一个共轭类，那么一定有：
	\[\sum\limits_{g\in C}\mathcal{A}(g)=\lambda E\]
	其中$\lambda$是某个常数，$E$是单位矩阵。
\end{proposition}
\begin{theorem}{有限群在内积空间上的每一个表示都有等价的酉表示}	
	对于内积空间$V$上的任意一个表示$\mathscr{A}$,存在一个$X:V\mapsto V$使得$X^{-1}\mathscr{A}X$是酉表示。
\end{theorem}
\begin{proof}
	假设在内积空间$V$上的内积定义为$(\cdot|\cdot)$，如果$\mathscr{A}$是酉表示，那么$\forall g\in G,\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in V,(\mathscr{A}(g)\mathbf{x}|\mathscr{A}(g)\mathbf{y})=(\mathbf{x}|\mathbf{y})$，那现在显然我们要考虑上述等式不成立的情况下中找到一个$X$使得$(X^{-1}\mathscr{A}X\mathbf{x}|X^{-1}\mathscr{A}X\mathbf{y})=(\mathbf{x}|\mathbf{y})$.
	
	对于一个内积空间，我们不止有一种定义内积的方式，我们在原先内积定义的基础上定义内积$\braket{\cdot|\cdot}$：
	\[\braket{\mathbf{x}|\mathbf{y}}\equiv\frac{1}{|G|}\sum\limits_{j=1}^{|G|}(\mathscr{A}(g_j)\mathbf{x}|\mathscr{A}(g_j)\mathbf{y})\]
	不难发现，在这个新的内积的定义下$\mathscr{A}$是酉表示：
	\[\forall g\in G\rightarrow\braket{\mathscr{A}(g)\mathbf{x}|\mathscr{A}(g)\mathbf{y}}=\braket{\mathbf{x}|\mathbf{y}}\]
	
	不过这并未说明我们的证明完成了，因为我们要证明的是在同一个内积空间定义下表示等价，我们这里引进新的内积定义只是为了后续帮助我们找到$X$.
	
	我们选取$V$的两组基底$\{\mathbf{e}_i\}$和$\{\mathbf{f}_i\}$. 这两组基底分别在$(\cdot|\cdot)$和$\braket{\cdot|\cdot}$两种内积定义下正交归一.
	线性空间的任意两组基底都可以用一个非奇异变换联系起来，我们就叫他$X$，满足下式：
	\[(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\cdots,\mathbf{f}_n)=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_n)X\]
	
	设任意一个$V$中向量$\mathbf{x}$在$\{\mathbf{e}_i\}$和$\{\mathbf{f}_i\}$基底下的坐标分别为$\{x_i\}$和$\{x^\prime_i\}$，这两组坐标之间显然有关系：
	\[\begin{pmatrix}
		{x^\prime_1} \\
		\vdots \\
		{x^\prime_n}
	\end{pmatrix}=X^{-1}\begin{pmatrix}
		{x_1} \\
		\vdots \\
		{x_n}
	\end{pmatrix}\]
	因为我们选取的是正交归一的基底，所以有：
	\[(\mathbf{x}|\mathbf{y}) = \begin{pmatrix}
		x_1^*& \cdots  &x_n^*
	\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
		{y_1} \\
		\vdots \\
		{y_n}
	\end{pmatrix}\]
	对于另一个内积关系也类似有：
	\[\braket{\mathbf{x}|\mathbf{y}} = \begin{pmatrix}
		x_1^{\prime*}& \cdots  &x_n^{\prime*}
	\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
		y_1^{\prime} \\
		\vdots \\
		y_n^{\prime}
	\end{pmatrix}\]
	利用两组坐标之间的关系我们最终得到：
	\[\braket{\mathbf{x}|\mathbf{y}} = \begin{pmatrix}
		x_1^*& \cdots  &x_n^*
	\end{pmatrix}(X^{-1})^{\dagger}(X^{-1})\begin{pmatrix}
		{y_1} \\
		\vdots \\
		{y_n}
	\end{pmatrix}\]
	显然上面这些式子意味着：
	\[\braket{X\mathbf{x}|X\mathbf{y}}=\braket{\mathbf{x}|\mathbf{y}}\]
	下面的推导便证明了此定理：
	\begin{align*}
		(X^{-1}\mathscr{A}(g)X\mathbf{x}|X^{-1}\mathscr{A}(g)X\mathbf{y})&=\braket{XX^{-1}\mathscr{A}(g)X\mathbf{x}|XX^{-1}\mathscr{A}(g)X\mathbf{y}}\\
		&=\braket{\mathscr{A}(g)X\mathbf{x}|\mathscr{A}(g)X\mathbf{y}}\\
		&=\braket{X\mathbf{x}|X\mathbf{y}}=(\mathbf{x}|\mathbf{y})
	\end{align*}
	\qed
\end{proof}

上面这个定理的证明过程也自然的告诉了我们如何去寻找某个表示等价的酉表示。不过这个定理最有价值的地方在于，前面我们说过表示可以分解为一系列不等价不可约表示的直和，而这些不等价不可约表示根据这个定理又都有对应的等价酉表示，所以最终对于任意一个群，我们要研究其表示，只需要关注于它的那些不等价不可约酉表示即可。

\begin{define}{群函数}
	群函数是将$G\mapsto \mathbb{C}$的函数，这些函数显然有无穷多个，但是在通常的函数加法定义下，群函数构成了一个向量空间，群函数空间，本文记作$F_G$。
\end{define}
\begin{theorem}{$F_G\cong V_G$}
	群函数空间与群空间同构
\end{theorem}
\begin{proof}
	我们知道群空间中的任意一个向量$\mathbf{f}$都可以在群元确定的自然基底下进行分解，而这种分解自然就确定了一个群函数$f(g)$，即$\mathbf{f}=\sum\limits_{i}^{|G|}f(g_i)g_i$. 这个过程显然是可逆的，对于任何一个群函数，我们也可以反过来将其作为$g_i$前的投影系数从而对应一个$V_G$中的向量。这样我们便建立了两个空间中的同构关系，群空间的维数为$|G|$，所以群函数空间的维数也为$|G|$，这一点比较重要.\qed
\end{proof}

既然群函数与群空间的一个向量完全等价，所以我们也可以根据群空间中群代数的定义去定义群函数空间的代数，具体就是下面的三个式子，$x,y$的含义是两个群函数。
\begin{itemize}
	\item $(ax)(g_i)=ax(g_i)$
	\item $(x+y)(g_i)=x(g_i)+y(g_i)$
	\item $(xy)(g_i)=\sum\limits_{i=1}^{|G|}x(g_j)y(g_j^{-1}g_i)$
\end{itemize}

前面两个式子很好理解，第三个式子其实就是前面群代数定义中两个向量乘法的定义，这里的$i$指标就对应前面求和公式里面的$\gamma$指标。

在群函数空间中可以选取一组基底，它们与群空间中的基底一一对应，那显然我们现在要考虑群元作为群空间中的向量所对应的群函数，为了避免混淆，我们用$g^i$表示。那根据群元自身在群空间中自然基地下的分解，我们有：
\[g^i(g_j)=\delta^i_j\]
这也很好理解，对于自变量为有限个的函数，$\delta$函数确实可以作为函数空间中的一组基底。

我们在群函数空间中定义内积：
\begin{equation}
	\braket{f|h}=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}f^*(g_i)h(g_i)
\end{equation}
在这一内积定义下$g^i$之间正交，但是不归一化。

虽然在数学人眼中群表示是把每个群元对应一个线性映射，但是在物理人眼中线性映射取基底后就是一个矩阵，所以群表示就是把每个群元对应一个矩阵，而对于一个$S$维表示，表示矩阵由$S^2$个数确定，所以一个表示就直接确定了$S^2$个群函数。下面我们要讨论的就是由群表示确定的这些群函数在群函数空间中的关系，当然我们的讨论集中在不等价不可约酉表示上。

\begin{theorem}{$\bigstar$正交性定理}
	设有限群$G$的所有不等价不可约酉表示为\footnote{互相等价的表示可看作一个表示，我们取其中的一个代表研究就好。}：$\mathscr{A}^1,\mathscr{A}^2,\ldots,\mathscr{A}^p,\ldots,\mathscr{A}^r,\ldots$.这些表示就是群表示最基本的单元.若记它们的维数分别为$S_1,S_2,\ldots,S_p,\ldots,S_r,\ldots$,那么这些不等价不可约表示的矩阵元作为群函数在群函数空间中有正交关系：
	\begin{equation}
		\boxed{
		\braket{\mathcal{A}^p_{\mu\nu}|\mathcal{A}^r_{\sigma\rho}}=\frac{1}{S_p}\delta_{pr}\delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}	
	}
	\end{equation}
	
	也就是说由这些不等价不可约表示确定的总共$\sum_i S^2_i$个群函数在群函数空间中是正交的。我们还可以利用群函数内积的定理改写为：
	\begin{equation}
		\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}(\mathcal{A}^p_{\mu\nu}(g_i))^*\mathcal{A}^r_{\sigma\rho}(g_i)=\frac{1}{S_p}\delta_{pr}\delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}	
	\end{equation}
	或者用酉表示的性质写为\footnote{这也意味着我们选取的是正交归一基底}：
	\begin{eqnarray}
		\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}(\mathcal{A}^p_{\nu\mu}(g_i^{-1}))^*\mathcal{A}^r_{\sigma\rho}(g_i)=\frac{1}{S_p}\delta_{pr}\delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}
	\end{eqnarray}
\end{theorem}
\begin{proof}
	我们先看两个相同表示，基于任意的一个$S_p$维矩阵$\mathcal{D}$，我们定义：
	\begin{equation*}
		\mathcal{C}=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}\mathcal{A}^p(g_i)\mathcal{D}\mathcal{A}^p(g_i^{-1})
	\end{equation*}
			在这个定义下$\forall g\in G$：
	\begin{align*}
		\mathcal{A}^p(g)\mathcal{C}&=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}\mathcal{A}^p(gg_i)\mathcal{D}\mathcal{A}^p(g_i^{-1})\\
		&=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}\mathcal{A}^p(gg_i)\mathcal{D}\mathcal{A}^p((gg_i)^{-1})\mathcal{A}^p(g)\\
		&=\mathcal{C}\mathcal{A}^p(g)
	\end{align*}
	
	根据schur引理，$\mathcal{C}=\lambda(\mathcal{D})\mathcal{I}_{S_p\times S_p}$.我们的证明过程中完全没有规定$\mathcal{D}$的形式，所以现在我们取一个特殊的$\mathcal{D}_{ij}=\delta_{i\rho}\delta_{j\nu}$，也就是除了第$\rho$行第$\nu$列为$1$，其它都为$0$.
	\begin{align*}
		\mathcal{C}_{\mu_1\mu_2}&=\frac{1}{|G|}\sum_{\alpha}^{|G|}\sum_{\mu_1,\mu_2}\mathcal{A}_{\mu_1i}^p(g_\alpha)\delta_{i\rho}\delta_{j\nu}\mathcal{A}_{j\mu_2}^p(g_\alpha^{-1})\\
		&=\frac{1}{|G|}\sum_{\alpha}^{|G|}\mathcal{A}_{\mu_1\rho}^p(g_\alpha)\mathcal{A}_{\nu\mu_2}^p(g_\alpha^{-1})\\
		&=\frac{1}{|G|}\sum_{\alpha}^{|G|}\mathcal{A}_{\mu_1\rho}^p(g_\alpha)(\mathcal{A}_{\mu_2\nu}^p(g_\alpha))^*\\
		&=\lambda(\mathcal{D})\delta_{\mu_1\mu_2}
	\end{align*}
	行之间的正交关系就出来了.
	
	我们再来看看$\lambda(\mathcal{D})$具体是什么，对$\mathcal{C}$取迹：
	\begin{align*}
		\mathrm{Tr} (\mathcal{C})&=\sum_{\mu=1}^{S_p}\frac{1}{|G|}\sum_{\alpha}^{|G|}\mathcal{A}_{\mu\rho}^p(g_\alpha)\mathcal{A}_{\nu\mu}^p(g_\alpha^{-1})=\frac{1}{|G|}\sum_{\alpha}^{|G|}\sum_{\mu=1}^{S_p}\mathcal{A}_{\nu\mu}^p(g_\alpha^{-1})\mathcal{A}_{\mu\rho}^p(g_\alpha)\\
		&=\frac{1}{|G|}\sum_{\alpha}^{|G|}\left[\mathcal{A}^p(g_\alpha^{-1}g_\alpha)\right]_{\nu\rho}=\delta_{\nu\rho}\\
		&=\lambda(\mathcal{D})\mathrm{Tr} (\mathcal{I})=\lambda(\mathcal{D})S_p
	\end{align*}
	列之间的正交关系也出来了，现在我们利用Schur引理一来证明矩阵之间的正交关系。
	
	跟前面类似的我们基于任意一个$S_r\times S_p$的矩阵$\mathcal{D}^\prime$定义：
	\begin{equation*}
		\mathcal{C}^\prime=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}\mathcal{A}^p(g_i)\mathcal{D}^\prime\mathcal{A}^p(g_i^{-1})
	\end{equation*}
	和前面一样，显然这样定义的$\mathcal{C}^\prime$对$\forall g\in G$:
	\[\mathcal{C}^\prime\mathcal{A}^p(g)=\mathcal{A}^r(g)\mathcal{C}^\prime\]
	可是我们已经说过这两个表示是不等价不可约表示，故$\mathcal{C}^\prime=0$.
	
	另一方面我们依旧取$\mathcal{D}_{ij}=\delta_{i\rho}\delta_{j\nu}$然后同样得到$\mathcal{C}^\prime$的矩阵元为：
	\begin{equation}
		\mathcal{C}^\prime_{\mu_1\mu_2}=\frac{1}{|G|}\sum_{\alpha}^{|G|}\mathcal{A}_{\mu_1\rho}^r(g_\alpha)(\mathcal{A}_{\mu_2\nu}^p(g_\alpha))^*=0
	\end{equation}
	这正是不同表示之间的正交关系.\qed
\end{proof}

自然我们会去想这些群函数在群空间中是否完备，或者说这些正交的群函数是否确定了群函数空间的一组正交完备基底。我们在学习特征标的概念后再回过头来证明这一点，因为借用这一概念后证明会简单很多。
\begin{define}{类函数}
	类函数就是把群中的每一个类$K_i$对应到一个数，和群函数很相似，类函数可以理解为现在同类元素对应到同一个数，自变量不再是群元，而由类来决定。类函数也张成了一个类函数空间，而且\textbf{维数为群的不同类的个数}。
\end{define}

特征标就是一类重要的类函数。类函数空间中的内积定义和群函数空间内积定义是一致的：
\begin{equation}
	\braket{\chi_1|\chi_2}=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}\chi_1^*(g_i)\chi_2(g_i)=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}|K_i|\chi_1^*(K_i)\chi_2(K_i)
\end{equation}
式中$\{K_i\}$指的是群的一个类。
\begin{define}{特征标}
	对于群$G$的表示$\mathcal{A}$定义一个群函数特征标为：
	\begin{equation}
		\chi(g)=\mathrm{Tr}\mathscr{A}(g)
	\end{equation}
\end{define}
因为$\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$，所以特征标确实是一个类函数。而且很容易证明\textbf{等价表示的特征标相同}。
\begin{theorem}{特征标第一正交定理}
	有限群的不等价不可约表示的特征标满足：
	\begin{equation}
		\boxed{
			\braket{\chi^p|\chi^r}=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}|K_i|\chi_1^{p*}(K_i)\chi^r(K_i)=\delta_{pr}
		}
	\end{equation}

\setlength\parindent{2em}上标$p,r$区分群的所有不等价不可约表示集合中的不同表示$\mathscr{A}^p,\mathscr{A}^r$，也可以看成区分两个不可约表示是否等价。另外这个正交定理没有酉表示这个要求，因为任何一个表示都有等价的酉表示，而等价表示的特征标相同。
\end{theorem}
\begin{proof}
	我们为了使用前面的正交性定理，我们先将$\mathscr{A}^p,\mathscr{A}^r$换成等价的酉表示$\mathscr{A}^{\prime p},\mathscr{A}^{\prime r}$. 由于等价表示的特征标相同，所以我们只需要证明等价酉表示的特征标内积$\braket{\chi^{\prime p}|\chi^{\prime r}}$满足正交性即可.
	\begin{align*}
		\braket{\chi^{\prime p}|\chi^{\prime r}}& =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left[\left(\sum_{\mu=1}^{S_{p}} \mathcal{A}_{\mu \mu}^{\prime p}\left(g_{i}\right)\right)^{*}\left(\sum_{\mu^{\prime}=1}^{S_{r}} \mathcal{A}_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}}^{\prime r}\left(g_{i}\right)\right)\right] \\
		& =\sum_{\mu=1}^{S_{p}} \sum_{\mu^{\prime}=1}^{S_{r}}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\mathcal{A}_{\mu \mu}^{\prime p *}\left(g_{i}\right) \mathcal{A}_{\mu^{\prime} \mu^{\prime}}^{\prime r}\left(g_{i}\right)\right) \\
		& =\sum_{\mu=1}^{S_{p}} \sum_{\mu^{\prime}=1}^{S_{r}} \frac{1}{S_{p}} \delta_{p r} \delta_{\mu \mu^{\prime}}=\delta_{p r}
	\end{align*}\qed
\end{proof}

我们前面说过任何一个表示都可以分解为那些等价不可约表示的直和，$\mathscr{A}=\bigoplus_p m_p\mathscr{A}^p$，显然\footnote{联系表示矩阵想一想}$\chi^\mathscr{A}=\sum_p m_p\chi^{\mathscr{A}^p}$. 那么根据特征标定理我们可以得到下面的重数计算公式：
\begin{equation}
	\boxed{
	\Braket{\chi^{\mathscr{A}^p}|\chi^{\mathscr{A}}}=\Braket{\chi^{\mathscr{A}^p}|\bigoplus_p m_p\mathscr{A}^p}=m_p
}
\end{equation}
根据上面式子我们还能知道\textbf{对于可约表示，特征标内积总是大于1的}：
\begin{equation}
	\Braket{\chi^{\mathscr{A}}|\chi^{\mathscr{A}}}=\Braket{\bigoplus_p m_p\mathscr{A}^p|\bigoplus_{p^\prime} m_{p^\prime}\mathscr{A}^{p^\prime}}=\sum_p m_p^2>1
\end{equation}

所以$\Braket{\chi^{\mathscr{A}}|\chi^{\mathscr{A}}}=1$可以作为表示不可约的充要条件。
\begin{proposition}{正则表示特征标}
	\begin{equation}
		\label{eq:D.23}
		\chi^{c}(g)=\delta_{g}^{g_e}|G|
	\end{equation}
这里的$\delta$符号表示当$g$为单位元素时取1，其它时候取0.
\end{proposition}
\begin{proof}
	我们对左正则表示证明这一点，右正则类似。
	\begin{align*}
		\chi^{\mathscr{L}}(g)&=\sum_{i=1}^{\dim \mathscr{L}}\mathcal{L}_{ii}(g)=\sum_{i=1}^{|G|}\mathrm{Prj}_{g_i}(gg_i)\\
		&=\sum_{i=1}^{|G|}\delta_{gg_i}^{g_i}=\delta_{g}^{g_e}|G|
	\end{align*}

	正则表示的表示空间是群空间，所以正则表示是$|G|$维的。证明中我们选取的是群空间中的自然基底，$\mathrm{Prj}_{g_i}$表示按照自然基底展开后在$g_i$上的展开系数。\qed
\end{proof}

现在我们来证明完备性定理。
\begin{theorem}{完备性定理}
	有限群$G$的所有不等价不可约酉表示\footnote{显然这种不等价不可约表示的集合有很多组，它们之间互相等价，所以这里我觉得可以更好的表述为“对于任意一组完全的不等价不可约表示集合”}的矩阵元所确定的那$\sum_{p}S^2_p$个群函数不仅在群函数空间正交，还在群函数空间中是完备的。
\end{theorem}
\begin{proof}
	我们考虑正则表示的直和分解$\mathscr{R}=\bigoplus\limits_{p}m_p\mathscr{A}^p$，$m_p=\braket{\chi^{\mathscr{A}^p}|\chi^{\mathscr{R}}}=\frac{1}{|G|}\sum_i\left[\chi^{\mathscr{A}^p}(g_i)\right]^*\chi^{\mathscr{R}}(g_i)$，再利用\ref{eq:D.23}我们就知道$m_p=\dim \mathscr{A}^p$，对正则表示直和分解两边同时取维度得到：
	\[|G|\dim \mathscr{R}=\sum_p\dim \mathscr{A}^p\cdot\dim \mathscr{A}^p\]
	
	右边是这些正交的群函数的个数，左边是群的阶数也是群函数空间的维数，这样我们便证明了完备性。
	
	但是这个证明还有一个小问题，我们考虑的是正则表示可约的情况，那如果正则表示不可约呢？那我们知道正则表示确定了$|G|^2$个正交的群函数，那么根据正交性定理，如果还有其它的不等价不可约表示，这就说明再群函数空间中可以找到多于$|G|$个线性无关的群函数，而这是不可能的。也就是说如果正则表示可约，那么他是唯一的不等价不可约表示。而且一定会有$|G|^2=|G|=1$. 得到的正交的群函数还是完备的。我们还顺带证明了除非是只含单位群元的平凡群，正则表示都是可约的。\qed
\end{proof}

证明过程中顺带得到下面非常重要的Burnside定理。
\begin{theorem}{Burnside定理}
	若群$G$的不等价不可约表示的维数分别为$S_1,S_2,\ldots,S_q$,那么下面等式成立：
	\begin{equation}
		\boxed{
			S^2_1+S^2_2+\cdots+S^2_q=|G|
	}
	\end{equation}
\end{theorem}
根据正交完备定理我们立刻得知这些群函数构成了群函数空间的一组基底。任何群函数都可以用这些(不等价不可约酉表示的)矩阵元确定的群函数展开。

\begin{theorem}{特征标在类函数空间完备}
	有限群的所有不等价不可约表示的特征标在类函数空间中是完备的
\end{theorem}
\begin{proof}
	同样，这个定理没有酉表示的要求，我们只需要证明对于所有不等价不可约酉表示的特征标是完备的即完成了证明，我们设这些不等价不可约酉表示为$\mathscr{A}^{\prime p}$.
	
	首先注意到根据完备性定理，我们知道对于任何一个群函数$f(g_i)$都可以写成：
	\[f(g_i)=\sum_{p,\mu,\nu}a^p_{\mu,\nu}\mathcal{A}^{\prime p}_{\mu,\nu}(g_i)\]
	进一步如果这个群函数还是一个类函数，那么$f(g_i)=f(g_j^{-1}g_ig_j)$对$\forall g_j\in G$成立，所以有下面的等式\footnote{为了方便，下面用$n$指代$|G|$}：
	\[f(g_i)=\frac{1}{n}\sum_{i}^{n}f(g_j^{-1}g_ig_j)\]
	这两个式子合起来，任意一个类函数都可以写为：
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			f\left(g_{i}\right) & =\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{p, \mu, \nu} a_{\mu, \nu}^{p} \mathcal{A}_{\mu, \nu}^{\prime p}\left(g_{j}^{-1} g_{i} g_{j}\right) \\
			& =\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{p, \mu, \nu} \sum_{\lambda, \sigma} a_{\mu, \nu}^{p} \mathcal{A}_{\mu, \lambda}^{\prime p}\left(g_{j}^{-1}\right) \mathcal{A}_{\lambda, \sigma}^{\prime p}\left(g_{i}\right) \mathcal{A}_{\sigma, \nu}^{\prime p}\left(g_{j}\right) \\
			& =\sum_{p, \mu, \nu} \sum_{\lambda, \sigma} a_{\mu, \nu}^{p} \mathcal{A}_{\lambda, \sigma}^{\prime p}\left(g_{i}\right)\left(\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \mathcal{A}_{\mu, \lambda}^{\prime p}\left(g_{j}^{-1}\right) \mathcal{A}_{\sigma, \nu}^{\prime p}\left(g_{j}\right)\right) \\
			& =\sum_{p, \mu, \nu} \sum_{\lambda, \sigma} a_{\mu, \nu}^{p} \mathcal{A}_{\lambda, \sigma}^{\prime p}\left(g_{i}\right)\left(\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \mathcal{A}_{\lambda, \mu}^{\prime p *}\left(g_{j}\right) \mathcal{A}_{\sigma, \nu}^{\prime p}\left(g_{j}\right)\right) \\
			& =\sum_{p, \mu, \nu} \sum_{\lambda, \sigma} a_{\mu, \nu}^{p} \mathcal{A}_{\lambda, \sigma}^{\prime p}\left(g_{i}\right)\left(\frac{1}{S_{p}} \delta_{\lambda, \sigma} \delta_{\mu, \nu}\right)=\sum_{p, \mu} \sum_{\lambda} \frac{1}{S_{p}} a_{\mu, \mu}^{p} \mathcal{A}_{\lambda, \lambda}^{\prime p}\left(g_{i}\right) \\
			& =\sum_{p}\left(\frac{1}{S_{p}} \sum_{\mu} a_{\mu, \mu}^{p}\right)\left(\sum_{\lambda} \mathcal{A}_{\lambda, \lambda}^{\prime p}\left(g_{i}\right)\right)=\sum_{p} a^{p} \chi^{\prime p}\left(g_{i}\right)=\sum_{p} a^{p} \chi^{p}\left(g_{i}\right)
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	
	证明中用到的操作：由群函数 $\forall \phi: G \rightarrow \mathbb{C}$定义$\phi^{\mathrm{Ad}}(g) \equiv \frac{1}{|G|} \sum_{g_{\alpha}} \phi\left(g_{\alpha} g g_{\alpha}^{-1}\right)$ 其中$g, g_{\alpha} \in G $。也就是对于任何一个群函数诱导出一个类函数的操作称为$\mathrm{Ad}$分解.\qed
\end{proof}
所以所有不可约不等价表示的特征标可以在类函数空间中作为一组基底。两个表示的特征标相同，说明它们对应的类函数相同，而同一个类函数根据完备性，在类函数空间中是可以分解为相同的不等价不可约表示特征标函数的线性组合的。也就是说如果表示$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$都可约，那么最后分解为的$\bigoplus_p m_p\mathscr{A}^p$形式完全相同。从表示矩阵上看就是两个表示矩阵可以通过一个相似变换变成有同样分块结构的表示矩阵。也就是说两个矩阵等价，那我们便得到了下面这个定理。
\begin{theorem}{表示等价的充要条件}
	两个表示等价$\iff$它们的特征标相同
\end{theorem}
这也直接说明了类函数空间的维数等于不等价不可约表示的个数。
\begin{theorem}{特征标第二正交定理（完备性）}
	\begin{equation}
		\frac{1}{|G|}\sum_{p}|K_i|\chi^{p*}(K_i)\chi^{p}(K_j)=\delta_{ij}
	\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
	我们设计一个$q\times q$的矩阵$F$\footnote{$q$的意思是群中所有类的个数}，$F$的形式为：
	\[F_{ri}=\sqrt{\frac{n_i}{n}}\chi^r(K_i)\]
	前面的特征标第一定理为：
	\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|K_i|\chi^{p*}(K_i)\chi^r(K_i)=\delta_{pr}\]
	注意到$F*_{pi}=(F^\dagger)_{ip}$，上面的等式可以写成：
	\[\sum_{i=1}^q F_{ri}(F^\dagger)_{ip}=(FF^\dagger)_{rp}=\delta_{pr}\]
	再代入$F$的定义我们便从特征标第一正交定理得到了特征标第二正交定理.
	
	\qed
\end{proof}

第一正交定理说的是不同表示之间的特征标的正交性对类求和，而这个正交定理是对与不同类说的，对于所有表示求和。

我们做的所有这些工作都是为了引出最重要的特征标表的概念，去求群的所有不等价不可约表示。我们介绍完特征标之后举几个例子求求特征标表和对应的不等价不可约表示。

一个群的不等价不可约表示和其特征标完全相关，数学家已经帮我们把很多群的特征标都制成了\ref{tab:D.2}样式的表。
\begin{table}[h]
	\centering
	\caption{特征标表}
	\label{tab:D.2}
	\begin{tabular}{c|c|c|c|c} 
		\hline
		& $n_1\left\{K_1\right\}$ & $n_2\left\{K_2\right\}$ & $\cdots$ & $n_q\left\{K_q\right\}$ \\
		\hline$\mathscr{A}^1$ & $\chi^1\left(K_1\right)$ & $\chi^1\left(K_2\right)$ & $\cdots$ & $\chi^1\left(K_q\right)$ \\
		\hline$\mathscr{A}^2$ & $\chi^2\left(K_1\right)$ & $\chi^2\left(K_2\right)$ & $\cdots$ & $\chi^2\left(K_q\right)$ \\
		\hline$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ \\
		\hline$\mathscr{A}^q$ & $\chi^q\left(K_1\right)$ & $\chi^q\left(K_2\right)$ & $\cdots$ & $\chi^q\left(K_q\right)$ \\
		\hline
	\end{tabular}
\end{table}

这里$\mathscr{A}$是指群的所有不等价不可约表示，$n_i\{K_i\}$是群的类，$n_i$是类中的群元个数。$\chi^p$指的就是$\mathscr{A}^p$的特征标，注意根据特征标的两大正交性定理，这里行和列都是正交的\footnote{别忘了权重因子$n_i$}。而且因为不等价不可约表示的个数等于群中类的个数\footnote{来源于特征标完备性}，所以特征标表的行数和列数是相等的。

我们下面举例求一下$D_3$群的特征标，$D_3$群的几何意义是正三角形的对称性。乘法表如\ref{tab:D.3}所示。
\begin{table}[h]
	\centering
	\caption{$D_3$群乘法表}
	\label{tab:D.3}
	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
		\hline
		 & $e$ &$d$ & $f$&$a$ & $b$&$c$ \\
		\hline $e$& $e$ &$d$ & $f$&$a$ & $b$&$c$ \\
		\hline $d$& $d$ & $f$&$e$ &$c$ &$a$ &$b$ \\
		\hline $f$& $f$ &$e$ &$d$ &$b$ &$c$ &$a$ \\
		\hline $a$& $a$ & $b$& $c$&$e$ &$d$ &$f$ \\
		\hline $b$& $b$ & $c$& $a$&$f$ &$e$ &$d$ \\
		\hline $c$& $c$ & $a$& $b$& $d$& $f$&$e$ \\
		\hline 
	\end{tabular}
\end{table}

\begin{example}{$D_3$群的特征标表}
	\setlength\parindent{2em}$D_3$群有三个类：$\{e\}$，$\{d,f\}$和$\{a,b,c\}$，所以有三个不等价不可约表示。不管是何表示空间，也不管是何空间基底，任何表示都会将$\{e\}$表示为一个单位矩阵。
	
	\setlength\parindent{2em}群的阶数是$6$，根据Bunside定理，只可能是$1^2+1^2+2^2=6$，所以三个表示的维数分别为$1,1,2$.所以第一列肯定是$1,1,2$，因为单位矩阵的迹就等于表示的维数。
	
	\setlength\parindent{2em}下面的推理就要按照乘法表来。由于$\mathscr{A}^1$和$\mathscr{A}^2$是一维表示，而且特征标是类的函数，所以最终$\mathscr{A}^1$会把$d,f$映为同一个数\footnote{或者说一维矩阵}，把$a,b,c$也映为同一个数。$\mathscr{A}^2$亦然。
	
	\setlength\parindent{2em}注意$d^2=f$，所以$[\mathcal{A}(d)]^2=\mathcal{A}(f)=\mathcal{A}(d)$,又由于表示矩阵非奇异\footnote{因为群元有逆}，所以只能有$\mathcal{A}^1(\{d,f\})=\mathcal{A}^2(\{d,f\})=1$，这样第二列的前面两个也出来了。
	
	\setlength\parindent{2em}同样的方法，因为$a^2=b^2=c^2=e$，所以有$[\mathcal{A}^1(\{a,b,c\})]^2=[\mathcal{A}^2(\{a,b,c\})]^2=1$，所以第三列的前面两个值就只能是是$\pm 1$。
	
	\setlength\parindent{2em}$\mathscr{A}^3$稍微麻烦一点，因为它的表示矩阵是$2\times 2$的矩阵。而且这次不再有将$d,f$；$a,b,c$分别映成同一矩阵的要求。\footnote{后面为了行文简洁，我们把群元对应的表示矩阵都用对应元字母大写表示。}我们去求不等价不可约酉表示，将$D_3$群乘法表翻译成矩阵之间的乘法等式，不难验证表示矩阵应该如下：

	\[\mathcal{A}=\left(\begin{array}{cc}
		1 & 0 \\
		0 & -1
	\end{array}\right)\quad\mathcal{B}=\left(\begin{array}{cc}
		-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
		\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
	\end{array}\right)\quad\mathcal{C}=\left(\begin{array}{cc}
		-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
		-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
	\end{array}\right)\]
	\[\mathcal{D}=\left(\begin{array}{cc}
		-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
		-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}
	\end{array}\right)\quad\mathcal{F}=\left(\begin{array}{cc}
		-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
		\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}
	\end{array}\right)\]

	表示矩阵出来了，特征标也便出来了。完整的特征标表见\ref{tab:D.4}。
\end{example}

\begin{figure}[h]
	\begin{floatrow}[2]
		\figurebox{\caption{$D_3$群元几何意义}}{%
			\label{fig:D.2}
			\includegraphics[width=.5\linewidth]{fig/D-1.pdf}}%
		\tablebox{\caption{$D_3$群特征标表}}{%
			\label{tab:D.4}
			\begin{tabular}{c|c|c|c}
				\hline
				& $1\{e\}$ & $2\{d,f\}$ & $3\{a,b,c\} $\\
				\hline$\mathscr{A}^1$ & $1$ & $1$ & $1$ \\
				\hline$\mathscr{A}^2$ & $1$ & $1$ & $-1$ \\
				\hline$\mathscr{A}^3$ & $2$ & $-1$ & $0$ \\
				\hline
		\end{tabular}}
	\end{floatrow}
\end{figure}

我们还是举$D_3$群的例子，这次的任务不是求特征标这些，而是求具体的表示，求群在具体的某个函数空间上的表示。因为物理上说的群很多都是变换群，是一堆对称操作的集合，而且群在函数空间上的表示对量子力学的研究有很大意义。

在举例之前我们要先说明，$D_3$群在几何意义上是用一个三角性的操作对称性定义的：\footnote{下面的旋转都是逆时针}
\begin{align*}
	&e:\text{啥也不干}&&d:\text{绕1轴转$\pi$}\\
	&d:\text{绕$z$轴转$4\pi/3$}&&b:\text{绕2轴转$\pi$}\\
	&f:\text{绕$z$轴转$4\pi/3$}&&c:\text{绕3轴转$\pi$}
\end{align*}

你要是单单把这些群元看成是对三角形的操作就比较狭隘了，我们用三角形作为载体是说明了$D_3$群对应的对称性，实际上我们完全可以把$D_3$群元看作是对Euclid空间中的向量的变换。我们这里说的函数也都是指的Euclid空间中向量的函数。

其实函数空间确定了我们有很多方式确定群的表示，不过物理上关心那类有物理意义的。我们这样想，$\mathbbm{R}^3$中的一个点对应系统的一个状态，群$G$中群元$g:\mathbbm{R}^3\mapsto\mathbbm{R}^3$，原先是用Euclid空间中的向量$\mathbf{r}$对应的点$\mathcal{P}$对应系统状态$\mathcal{S}$，现在改用$g\mathbf{r}$对应的点$\mathcal{P}^\prime$对应
$\mathcal{S}$。与其说函数空间中的函数$\Psi$是Euclid空间中的向量的函数，我们还不如说他是系统状态的函数$\mathscr{Y}(\mathcal{S})$，$\Psi$只是在Euclid空间中将物理量$\mathscr{Y}$具体写出来。在函数那么群元对向量变换后，$\Psi$作为$\mathbf{r}$的函数形式必然会发生改变$\Psi\to\Psi^\prime$，不过我们说过要把它们看成是物理量，看作是系统状态的函数，所以会有：$\Psi(\mathbf{r})=\Psi^\prime(g\mathbf{r})=\mathscr{Y}(S)$，群表示$\mathscr{A}(g)$既然是对函数的作用，也就是对函数形式的变换，我们要求这个表示使得$[\mathscr{A}(g)\Psi](\mathbf{r})=[\Psi^\prime](\mathbf{r})$。\footnote{相信读者如果仔细学过正则变换作为相空间的变换，应该懂得我们此处的解释。}那根据前面的讨论显然我们可以根据下面式子来确定群表示：
\begin{equation}
	\boxed{[\mathscr{A}(g)\Psi](\mathbf{r})=[\Psi](g^{-1}\mathbf{r})}
\end{equation}
今后物理上谈到在函数空间中的表示就是指用上式确定。至于数学家们称作啥就不知道了。
\begin{example}{$D_3$群在函数空间上的表示}
	这里函数空间假设是由下面六个函数张成的空间$\{\Psi_1(\mathbf{r})=x^2,\Psi_2(\mathbf{r})=y^2,\Psi_3(\mathbf{r})=z^2,\Psi_4(\mathbf{r})=xy,\Psi_5(\mathbf{r})=yz,\Psi_6(\mathbf{r})=xz\}$
	
	我们以$D_3$群中的群元$f$作为例子，根据旋转变换矩阵(主动版本)\ref{eq:6.41}，$d$的作用用矩阵形式写就是：
	\begin{equation*}
			f^{-1}\mathbf{r}=d\mathbf{r}=\begin{pmatrix}
			\mathbf{i} &\mathbf{j}  &\mathbf{k} 
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\\
			\frac{\sqrt{3}}{2} &   -\frac{1}{2} & 0\\
			0 &  0&1
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			x\\
			y\\
			z
		\end{pmatrix}=
		\begin{pmatrix}
			\mathbf{i} &\mathbf{j}  &\mathbf{k} 
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y  \\
			\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y  \\
			z
		\end{pmatrix}
	\end{equation*}

\setlength\parindent{2em}所以我们得到$f$的表示对函数空间中这六个基底的作用为：$[]\mathscr{f}\Psi_1](\mathbf{r})=\Psi_1(f^-1\mathbf{r})=\Psi_1(d\mathbf{r})=\left(-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2=\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{\sqrt{3}}{2}xy$.在基底上的展开系数为$\frac{1}{4},\frac{1}{3},0,\frac{3}{2},0,0$.

我们对其它的五个基底也这样做一遍，最后就得到了$\mathscr{A}(f)$的表示矩阵：
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
		{\frac{1}{4}}&{\frac{3}{4}}&0&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{4}}&0&0 \\ 
		{\frac{3}{4}}&{\frac{1}{4}}&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}&0&0 \\ 
		0&0&1&0&0&0 \\ 
		{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&0&{ - \frac{1}{2}}&0&0 \\ 
		0&0&0&0&{ - \frac{1}{2}}&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \\ 
		0&0&0&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}} 
\end{array}} \right)\]
类似的方法也可以得到其它几个群元的表示矩阵.
\end{example}

有限群最重要的部分我们就讲完了，这个附录最开始的部分我们引用了杨振宁的一句话，看了这些群论定理的证明，你应该能稍微体会到这句话了。

最后我们利用Dirac符号重写一下正交归一定理。

每个表示的矩阵元决定了一个群函数，我们用$\ket{\mu,i,j}$，表示$\mathcal{A}^\mu_{ij}$决定的群函数，且规定：
\[\braket{g|\mu,i,j}=\sqrt{\frac{n_\mu}{n_G}}\mathcal{A}^\mu_{ij}(g)\]
也就是说，$\ket{\mu,i,j}$是类似于$(\mathcal A(g_1),\mathcal A(g_2),\ldots)^T$形式的向量，$\bra{\mu,i,j}$自然就是其dagger，也即$(\mathcal {A}^*(g_1),\mathcal {A}^*(g_2),\ldots)$.

类似的，我们也可以用Dirac符号重写特征标决定的类函数：
\[\Braket{c|\chi^\mu}=\sqrt{\frac{n_c}{n_G}}\chi^\mu(c)\]
类比Hilbert空间中的正交完备性，我们得到：
\begin{align}
	&\braket{\mu,i,j|\nu,k,l}=\delta_{\mu\nu}\delta_{ik}\delta_{jl}&&\sum_{\mu,i,j} \ket{\mu,i,j}\bra{\mu,i,j}=\mathbbm{1}\\
	&\braket{\chi^\mu|\chi^\nu}=\delta_{\mu\nu}&&\sum_{\mu}\ket{\chi^\mu}\bra{\chi^\mu}=\mathbbm{1}
\end{align}
其中第二个式子我们未提到过，实际上它是群函数完备性的数学表述，我们使用$\braket{g|\cdot|g^\prime}$夹在两边可以得到：
\begin{equation}
	\boxed{
	\frac{n_\mu}{n_G}\sum_{\mu,i,j}\mathcal{A}^\mu_{ij}(g)\mathcal{A}^{*\mu}_{ij}(g^\prime)=\delta_{gg^\prime}
}
\end{equation}

实际上这种完备性在Lie群中表现得尤为明显，上面的这些公式不仅对于有限群成立，实际上对于紧李群也是成立的，只不过需要将求和换成在不变测度下的积分。一般地说，对于一个紧李群的所有不登记啊不可约表示表示，其确定了函数空间上的一系列群函数\footnote{其中$\mathbf{x}$是确定群元的一组连续参数。}$\mathcal{D}^\mu_{ij}(\mathbf{x})$，这些群函数可以作为在该李群的流形上定义的（平方可积）函数的展开基底，或者说可以用这些群函数对任意一个函数进行广义傅里叶展开。(Peter-Wyle定理)
\begin{equation}
	f(\mathbf{x})=\sum_{\mu,i,j}f_{\mu,i,j}\mathcal{D}^\mu_{ij}(\mathbf{x})
\end{equation}

比如傅里叶变换是以$e^{ipx}$作为基底，对应的是一维平移群$T$的表示；再比如球谐函数$Y^\ell_m(\theta,\phi)$全体作为展开基底，对应的是$SO(3)$群表示的矩阵元；$Bessel$函数对应的是$E_2$群的表示矩阵元$\cdots$更多群论与特殊函数之间的联系可以翻阅{\itshape Wu-Ki Tung}群论的有关章节。

\subsection{新表示的构成}
这一节的目的是通过已知的一些群表示来构成更多有用的群表示。

\subsubsection*{张量积数学准备}
张量积空间的相关内容在前面将自旋问题的时候已经提过了，这里不再重复，我们主要来看如何在某个确定表象(基底)下用矩阵表示张量积空间中的向量以及算符的张量积。\footnote{这一部分参考\xpinyin{喀}{ka1}兴林《高等量子力学》一书}

先说一下物理里面很多名词和数学上相差较大，有的甚至数学家压根就不知道，我们这里讨论的张量积很多书上也称作向量空间的直积。

考虑$m$维$V_1$与$n$维$V_2$的张量积空间$V=V_1\otimes V_2$，那么我们应该选取$m\times n$个形如$\ket{e_i}\otimes\ket{f_j}$的$V$中向量作为$V$的基底，其中$\ket{e_i}\in V_1,\ket{f_j}\in V_2$都是各自向量空间的基底。我们还是用一个列矩阵表示$V$中的向量，基底的编号实际上是个套娃约定，外层是$i$内层是$j$，举个例子就懂了：
\begin{equation}
	\ket{\alpha}\otimes\ket{\beta}=\begin{pmatrix}
		\alpha_1\\
		\alpha_2
	\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}
		\beta_1\\
		\beta_2\\
		\beta_3
	\end{pmatrix}
	=\begin{pmatrix}
		\alpha_1 \begin{pmatrix}
			\beta_1\\
			\beta_2\\
			\beta_3
		\end{pmatrix}\\
		\alpha_2 \begin{pmatrix}
			\beta_1\\
			\beta_2\\
			\beta_3
		\end{pmatrix}
	\end{pmatrix}
	=\begin{pmatrix}
		\alpha_1\beta_1 \\
		\alpha_1\beta_2 \\
		\alpha_1\beta_3\\
		\alpha_2\beta_1 \\
		\alpha_2\beta_2\\
		\alpha_2\beta_3
	\end{pmatrix}
\end{equation}
同样对于算符$A\otimes B$的矩阵形式，无非就是双层套娃：
\[(A\otimes B)_{ip,jq}=\Braket{e_if_p|A\otimes B|e_jf_q}=A_{ip}B_{jq}\]
比如$A\otimes B$矩阵的第12行第34列\footnote{这里比较微妙，我们仍旧使用二维的矩阵去表示张量矩阵的做法（也称作矩阵的克罗内克积）实际上是会丢失掉一些信息的，容易让人困惑的一点就是我们需要使用两个“双重”指标去标记矩阵的行和列，这里的“12”，“34”不能看作是普通的十进制数，而是两个数字并起来形成的指标。}的矩阵元就是$A_{13}B_{24}$，比如：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}&=\begin{pmatrix}
			A_{11}&A_{12} \\
			A_{21}&A_{22}
		\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}
			B_{11} & B_{12}  & B_{13} \\
			B_{21}& B_{22}  &  B_{23}\\
			B_{31} & B_{32}  & B_{33}
		\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
			A_{11}\mathcal{B}&A_{12}\mathcal{B} \\
			A_{21}\mathcal{B}&A_{22}\mathcal{B}
		\end{pmatrix}\\
		&=\begin{pmatrix}
			A_{11}B_{11}&  A_{11}B_{12}&A_{11}B_{13}  &A_{12}B_{11}&  A_{12}B_{12}&A_{12}B_{13} \\
			A_{11}B_{21}&A_{11}B_{22}  &A_{11}B_{23}  &A_{12}B_{21}&A_{12}B_{22}  &A_{12}B_{23}  \\
			A_{11}B_{31}&A_{11}B_{32}  &A_{11}B_{33}  &A_{12}B_{31}&A_{12}B_{32}  &A_{12}B_{33} \\
			A_{21}B_{11}&  A_{21}B_{12}&A_{21}B_{13}  &A_{22}B_{11}&  A_{22}B_{12}&A_{22}B_{13} \\
			A_{21}B_{21}&A_{21}B_{22}  &A_{21}B_{23}  &A_{22}B_{21}&A_{22}B_{22}  &A_{22}B_{23}  \\
			A_{21}B_{31}&A_{21}B_{32}  &A_{21}B_{33}  &A_{22}B_{31}&A_{22}B_{32}  &A_{22}B_{33} 
		\end{pmatrix}
	\end{aligned}
\end{equation}
其实就是把两个矩阵拼在一起而已。
\subsubsection*{群表示的张量积和直积群的表示}
\begin{define}{群表示的张量积}
	若群$G$有两个表示$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$, 表示空间分别为$V_A,V_B$，则自然的可以得到群$G$在$V_A\otimes V_B$上的表示$\mathscr{C}=\mathscr{A}\otimes\mathscr{B}$，表示矩阵就是两个表示的矩阵作张量积，称为$\mathscr{A}$与$\mathscr{B}$的张量积(直积)表示。
\end{define}
所以我们可以通过张量积运算用已知表示生成“更大”的表示。不难发现下面的特征标关系：
\[\chi^\mathscr{C}(g)=\chi^\mathscr{A}(g)\chi^\mathscr{B}(g)\]
由于表示\uwave{变大}了许多，所以一般来说$\mathscr{C}$都是可约表示。

上面说的是从已知表示构造更大的表示，下面要说的是已知一个群可以作直积分解$G=G_1\times G_2$，已知两个因子的表示如何构造直积群表示。
\begin{define}{直积群的表示}
	如果$g_{1\alpha}\in G_1,g_{2\beta}\in G_2$，$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$分别是$G_1$和$G_2$群的表示，那么自然可以得到$G=G_1\times G_2$的一个表示：\footnote{这里我们用$g_1\otimes g_2$表示$G$中群元，而不是前面讲的$(g_1,g_2)$}
	\[\mathscr{C}(g_{1\alpha}\otimes g_{2\beta})=\mathscr{A}(g_{1\alpha})\otimes\mathscr{B}(g_{2\beta})\]
\end{define}
更重要的是对于内直积我们有下面的重要定理：
\begin{theorem}{内直积群的表示}
	若有限群$G$可以分解为两个子群的（内）直积，$G=H_1\otimes H_2$，则群$G$的所有不等价不可约表示都可以表示为两个子群的不等价不可约表示的直积
\end{theorem}

\subsubsection{分导表示}
众所周知线性代数中我们常常谈论一个映射限制在某个子空间上得到的映射，这里我们也可以类似的建立一个群的表示在其子群上的限制，也即分导表示。
\begin{define}{分导表示}
	设$H\subset G$，把群的不可约表示$D(g)$中与$H$有关的那些表示矩阵\footnote{或者严格来说，一个算符}$D(h)$挑出来，构成子群$H$的表示，称为群$G$关于子群$H$的分导表示。
\end{define}

分导表示一般是可约的，可以想想，原先我们是要找到一个矩阵$P$将所有$D(g),\forall g\in G$同时分块对角化，现在我们只要找到一个矩阵将所有$D(h),\forall h\in H$同时分块对角化。要对角化的矩阵变少了，所以不难想象这样的矩阵$P$或许就存在了，也就是表示是可约表示了，可以按照子群$H$的不等价不可约表示进行分解，物理上也比较关心这样的问题。

\subsubsection{用商群构造表示}
\begin{theorem}{商群的表示也是表示}
	$H\lhd$G，则商群$G/H$的表示$\mathscr{A}$也定义了$G$上的一个简并表示\footnote{非忠实表示}：\[\mathscr{A}^G:G\to GL(V),\quad g\mapsto \mathscr{A}(gH)\]
\end{theorem}

\subsubsection*{诱导表示}
\begin{define}{诱导表示}
	设$H$是$G$的子群，$\{\rho,V\}$是$H$的一个表示，用$\mathcal{V}^G$表示所有$G\to V$的映射构成的线性空间，则：
	\[V^G=\{f\in\mathcal{V}^G|f(hg)=\rho(h)f(g),\forall h\in H,g\in G\}\]
	是$\mathcal{V}^G$的子空间，$\forall g\in G$令$\rho^G(g)$如下：
	\[\rho^G(g)\circ f(g^\prime)=f(g^\prime g)\]
	这样实际上定义了一个$G$的表示$(\rho^G,V^G)$。数学上通常记为$\operatorname{Ind}_G^H\rho$。
\end{define}



\section{置换群}
为什么要研究置换群？从数学上来说，根据前面第一节所讲的Cayley定理，任何$n$阶群都和$n$阶置换群$S_n$的某个子群同构，而且置换群也是最简单的一类群，很多群论书都从置换群开始讲。从物理上来说，全同粒子的波函数有置换对称性，所以置换群对于理解多粒子体系非常重要。而且杨图方法在群论的相关计算中也是非常有用的，不只是置换群。
\subsection{基本概念和性质}
所谓$n$阶置换就是有限集（元素个数为$n$）到自身的一个双射，简单来说就是对集合元素排列的方法，显然$|S_n|=n!$，我们用下面的记号表示一个置换：
\begin{equation}
	\begin{pmatrix}
		1&2  & \cdots &n \\
		a_1& a_2 & \cdots &a_n
	\end{pmatrix}
\end{equation}
意思就是对元素下标做替换$j\to a_j$，确实意思就是对集合中元素重新排序，而且对上面记号中的列随意互换仍表示原置换。

有两类特殊的置换我们可以使用更加紧凑的记号：
\begin{itemize}
	\item[$\bulletS$]轮换：
	\begin{equation*}
		\left(a_1,a_2,\cdots,a_m\right)\equiv\begin{pmatrix}
		a_1&a_2  & \cdots &a_{m-1}&a_m \\
		a_2& a_3 & \cdots&a_m &a_1
	\end{pmatrix}
	\end{equation*} 
	这里$m$可以小于$n$，表示剩下的数不换。轮换的阶数就定义为$m$。\\
	\item[$\bulletS$]对换：
	\begin{equation}
		\left(a_1,a_2\right)=\begin{pmatrix}
			a_1&a_2  & a_3&\cdots &a_n \\
			a_2& a_1 & a_3&\cdots&a_n 
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
\end{itemize}

这里通过例子介绍一种简单的轮换乘积计算规则：
\[(13)(32)=(132),\quad (1234)=(123)(34),\quad (123)=(231)=(312)\]

实际上对换是轮换的一种，任何一个置换都可以分解为多个对换的乘积，但是这些对换之间不是独立的，而真正有用的结论是：
\begin{theorem}{置换的分解}
	\begin{itemize}
		\item [$\bullet$] 任何一个置换都可以分解为相互独立的轮换的乘积
		\item [$\bullet$]具有相同轮换结构的置换群元共轭
	\end{itemize}
\end{theorem}

什么叫具有相同的轮换结构？比如：
\begin{equation}
	\begin{pmatrix}
		1&2  & 3&4&5 &6 \\
		4& 2 & 6&5&1&3 
	\end{pmatrix}=(2)(36)(145)
\end{equation}

这里我们在前面补了一个$(2)$可以理解为一阶轮换，其实就是单位元。那么$S_6$中所有具有一个一阶轮换，一个二阶轮换以及一个三阶轮换的置换都与其共轭。比如：
\begin{equation}
	\begin{pmatrix}
		1&2  & 3&4&5 &6 \\
		2& 5 & 3&4&1&4 
	\end{pmatrix}=(3)(46)(125)
\end{equation}

所以说$S_n$的等价类与其轮换结构分解完全一致，我们可以将轮换分解记为：
\[(\gamma)=\left(1^{\gamma_1},2^{\gamma_2},\cdots,n^{\gamma_n}\right)\]
其中$\gamma_n$就表示$n$阶轮换的个数，而且满足:
\[\gamma_1+2\gamma_2+\cdots+n\gamma_n=n\]
其中$(\gamma)$类中的元素个数为：
\[\frac{n!}{(1^{\gamma_1}\cdot\gamma_1!)(2^{\gamma_2}\cdot\gamma_2!)\cdots (n^{\gamma_n}\cdot\gamma_n!)}\]

考虑$S_n$不等价不可约表示的个数，就是在考虑其等价类个数，就是在考虑$n$分解为自然数的和。下面我们发展一种图形规则用于标记等价类，或者说不等价不可约表示。
杨图可以使用$[\lambda]=\left[\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_n\right]$来标记，其中：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\lambda_{1}&=&\gamma_1+\gamma_2+\cdots+\gamma_n\\
		\lambda_{2}&=&\gamma_2+\cdots+\gamma_n\\
		&\vdots&\\
		\lambda_n&=&\gamma_n
	\end{aligned}
\end{equation}

对应的\textbf{杨图}就是第一行$\lambda_1$个方块，第$n$行$\lambda_n$个方块的图，显然所有的方块数加起来就是置换群阶数$\sum \lambda_i=n$。

那么现在我们将$S_n$划分为共轭类只需要将$n$个格子堆起来的杨图全部画出来就行了。比如说$S_4$的杨图：\footnote{神似俄罗斯方块！}

\begin{center}
\ytableausetup{aligntableaux=center}
\ydiagram{1,1,1,1}\quad\quad\ydiagram{3,1}\quad\quad\ydiagram{2,1,1}\quad\quad\ydiagram{2,2}\quad\quad\ydiagram{4}
\end{center}

杨图必须要左对齐，下面永远不比上面长，而且得是连通图，下面的图就是{\color{red}错误的！}\footnote{当然，这里只是在置换群的语境下，杨图方法在其它地方也有许多应用，定义略有区别。这里我们考虑的实际上是正则杨图。}
\begin{center}
	\ytableausetup{aligntableaux=center}
	\ydiagram{1+2,2}\qquad\ydiagram{3,2+1}\qquad\ydiagram{2,3}
\end{center}

\subsection{置换群的表示}
如果我们在杨图中填充了数字($1\sim n$不重复地填入)，就称之为\textbf{杨表}，我们这里只打算介绍方法，杨图定理的证明极度复杂，我们交给数学家。

杨图的填充方式显然多种多样，这里介绍后面常用的两种：
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] 正规(normal)填充：从左到右从上到下依次填入$1\sim n$
	\begin{center}
		\ytableausetup{aligntableaux=center}
		\ytableaushort{12,3}\qquad\ytableaushort{123,4}\qquad\ytableaushort{12,34}
	\end{center}
	\item[$\bullet$] 正则(standard)填充：每一行每一列的数字都是从小到大
	\begin{center}
		\ytableausetup{aligntableaux=center}
		\ytableaushort{12,3}\qquad\ytableaushort{13,2}\qquad \ytableaushort{13,24}\qquad\ytableaushort{124,3}
	\end{center}
\end{itemize}

我们还可以利用置换群中的元素对杨表进行置换：
\begin{equation*}
	\ytableausetup{aligntableaux=center}
	\ytableaushort{12,3}\xrightarrow{{(12)}}	\ytableaushort{21,3}
\end{equation*}

这种只改变行的置换我们使用$h^P_\lambda$标记，因为任意一个正则杨表都可以用$\lambda$标记，而任意一个其它填充方式的杨表都可以通过正则杨表施以某个置换$P$之后得来，我们这里操作的就是正则杨表本身，所以$P=e$，而$h$意思就是horizontal的置换，这里是$(12)$。现在考虑置换群的群代数，当我们把某个杨表的所有$h^P_\lambda$加起来时就得到了\textbf{对称子}：
\begin{equation}
	S_\lambda^P\equiv\sum_h h^P_\lambda
\end{equation}
比如这个例子中$S_{[2,1]}=e+(12)$。

类似的，也可定义列的变换：
\begin{equation*}
	\ytableausetup{aligntableaux=center}
	\ytableaushort{12,3}\xrightarrow{{(13)}}	\ytableaushort{32,1}
\end{equation*}
我们使用$v^{P}_\lambda$去标记，不过对应的\textbf{反对称子}的定义稍有不同：
\begin{equation}
	A_\lambda^P\equiv\sum_v {\color{red}(-1)^{v_\lambda}}v^P_\lambda
\end{equation}
这里$(-1)^{v_\lambda}$的意思时对于偶置换去正号，对于奇置换取负号。

最后我们定义\textbf{不可约对称子}：
\begin{equation}
	e_\lambda^P\equiv S_\lambda^P\cdot A_\lambda^P=\sum_{h,v} {\color{red}(-1)^{v_\lambda}}h^P_\lambda v_\lambda^P
\end{equation}
举一个$S_4$的例子\footnote{bad notation! 注意区分单位元和不可约对称子。}：
\ytableaushort{12,34}
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		S_{[2,2]}=&e+(12)+(34)+(12)(34)\\
		A_{[2,2]}=&e-(13)-(24)+(13)(24)\\
		e_{[2,2]}=&\left[e+(12)+(34)+(12)(34)\right]\cdot \left[e-(13)-(24)+(13)(24)\right]\\
		=&
		e+(12)+(34)+(12)(34)-(132)-(234)-(143)-(1432)-(13)\\&-(124)-(24)+(1324)+(1423)+(14)(23)+(13)(24)+(1234)
	\end{aligned}
\end{equation}

我们直接不加证明的给出下面三个引理：
\begin{itemize}
	\item [$\bullet$] 每个不可约对称子生成一个不可约表示空间
	\item [$\bullet$] $e^P_\lambda$和$e^{P^\prime}_\lambda$生成的表示等价
	\item [$\bullet$]  $e_\lambda$和$e_\mu$生成的表示不等价
\end{itemize}

这三句话告诉我们每个杨图唯一对应一个不等价不可约表示，而且我们具体将杨图填充数字用以求表示的时候只用考虑某种填充的杨表即可，我们后面都使用最简单的正规填充。

下面以$S_3$的$[2,1]$表示{\ }\ytableaushort{12,3}{\ }为例说明如何构造表示。
首先写出对应的不可约对称子：\footnote{这里使用狄拉克符号强调我们在讨论群代数}
\begin{equation}
	\ket{e_1}=\ket{e}+\ket{(12)}-\ket{(13)}-\ket{(132)}
\end{equation}
然后再把$S_3$中的每个群元作用到它上面得到：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		e\ket{e_1}&=\ket{e}+\ket{(12)}-\ket{(13)}-\ket{(132)}=\ket{e_1}\\
		(12)\ket{e_1}&=\ket{e_1}\\
		(13)\ket{e_1}&=-\ket{e}-\ket{(23)}+\ket{(13)}+\ket{(123)}\equiv{\color{red}\ket{e_2}}\\
		(23)\ket{e_1}&=\ket{(23)}+\ket{(132)}-\ket{(123)}-\ket{(12)}=-\ket{e_1}-\ket{e_2}\\
		(132)\ket{e_1}&=-\ket{e_1}-\ket{e_2}\\
		(123)\ket{e_1}&=\ket{e_2}
	\end{aligned}
\end{equation}

注意这里我们从$\ket{e_1}$出发，用群元素得到了$\ket{e_1}$之外的基矢，我们定义为$\ket{e_2}$，但是不能一看到不同的矢量就认为它是新的线性无关的基矢，要留意其是否能由$\ket{e_1},\ket{e_2}$线性组合得来。上面的这一连串操作让我们确定表示空间由$\ket{e_1},\ket{e_2}$张成，下一步自然是看看群元素对$\ket{e_2}$的作用，因为要确定一个线性算子，重点就是看它对空间中基矢量的变换操作。

经过类似的计算我们得到：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		e\ket{e_2}&=(23)\ket{e_2}=\ket{e_2}\\
		(13)\ket{e_2}&=(132)\ket{e_2}=\ket{e_1}\\
		(12)\ket{e_2}&=(123)\ket{e_2}=-\ket{e_1}-\ket{e_2}
	\end{aligned}
\end{equation}
最终我们便可以写出对应的表示矩阵，这是一个二维表示：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		e& = \begin{pmatrix}
			1&0 \\
			0&1
		\end{pmatrix}&(12)&=\begin{pmatrix}
			1&-1 \\
			0&-1
		\end{pmatrix}&(13)&=\begin{pmatrix}
			0&1 \\
			1&0
		\end{pmatrix}\\
		(23)&=\begin{pmatrix}
			-1&0 \\
			-1&1
		\end{pmatrix}&(123)&=\begin{pmatrix}
			0&-1 \\
			1&-1
		\end{pmatrix}&(132)&=\begin{pmatrix}
			-1&1 \\
			-1&0
		\end{pmatrix}
	\end{aligned}
\end{equation}
\subsection{钩子规则}
从上面的表示构造规则中我们体会到，比较容易搞错的就是确定表示的基矢，也就是说除了根据杨表写出的不可约对称子外还能得到几个基矢。如果我们能在构造表示之前知道表示的维数就好了。
\begin{theorem}{表示的维数}
	$[\lambda]$表示的维数等于其所对应的正则杨表的个数。
\end{theorem}
比如前面的$[2,1]$表示{\ }\ydiagram{2,1}{\ }有下面的两种正则杨表：

\begin{center}
	\ytableaushort{12,3}\qquad \ytableaushort{13,2}
\end{center}

所以其对应的表示维数为$2$。下面我们以$S_4$的$[2,2]$表示为例说明计算表示维数的图形规则——钩子规则。
\begin{figure}[h]
	\centering
	\tikzset{every picture/.style={line width=0.75pt}} %set default line width to 0.75pt        
	
	\begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1,scale=0.8]
		%uncomment if require: \path (0,152); %set diagram left start at 0, and has height of 152
		
		%Shape: Grid [id:dp7380487972999206] 
		\draw  [draw opacity=0] (0.5,2) -- (100.5,2) -- (100.5,102) -- (0.5,102) -- cycle ; \draw   (50.5,2) -- (50.5,102) ; \draw   (0.5,52) -- (100.5,52) ; \draw   (0.5,2) -- (100.5,2) -- (100.5,102) -- (0.5,102) -- cycle ;
		%Straight Lines [id:da7282576792824913] 
		\draw    (125.5,26) -- (77.5,26) ;
		\draw [shift={(75.5,26)}, rotate = 360] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		%Straight Lines [id:da4158105410433586] 
		\draw    (75.5,26) -- (75.5,116) ;
		\draw [shift={(75.5,118)}, rotate = 270] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		%Shape: Grid [id:dp6132205450515487] 
		\draw  [draw opacity=0] (151.5,1) -- (251.5,1) -- (251.5,101) -- (151.5,101) -- cycle ; \draw   (201.5,1) -- (201.5,101) ; \draw   (151.5,51) -- (251.5,51) ; \draw   (151.5,1) -- (251.5,1) -- (251.5,101) -- (151.5,101) -- cycle ;
		%Straight Lines [id:da14423092143630334] 
		\draw    (276.5,76) -- (228.5,76) ;
		\draw [shift={(226.5,76)}, rotate = 360] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		%Straight Lines [id:da08081217698068244] 
		\draw    (226.5,76) -- (226.5,121) ;
		\draw [shift={(226.5,123)}, rotate = 270] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		%Shape: Grid [id:dp019540913512782865] 
		\draw  [draw opacity=0] (299.5,1) -- (399.5,1) -- (399.5,101) -- (299.5,101) -- cycle ; \draw   (349.5,1) -- (349.5,101) ; \draw   (299.5,51) -- (399.5,51) ; \draw   (299.5,1) -- (399.5,1) -- (399.5,101) -- (299.5,101) -- cycle ;
		%Straight Lines [id:da9402292684087774] 
		\draw    (428.5,76) -- (327.5,76.98) ;
		\draw [shift={(325.5,77)}, rotate = 359.44] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		%Straight Lines [id:da3953014092994378] 
		\draw    (325.5,77) -- (325.5,123) ;
		\draw [shift={(325.5,125)}, rotate = 270] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		%Shape: Grid [id:dp8010151527833405] 
		\draw  [draw opacity=0] (451.5,1) -- (551.5,1) -- (551.5,101) -- (451.5,101) -- cycle ; \draw   (501.5,1) -- (501.5,101) ; \draw   (451.5,51) -- (551.5,51) ; \draw   (451.5,1) -- (551.5,1) -- (551.5,101) -- (451.5,101) -- cycle ;
		%Straight Lines [id:da48249026038140364] 
		\draw    (579.5,24) -- (478.5,24.98) ;
		\draw [shift={(476.5,25)}, rotate = 359.44] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		%Straight Lines [id:da872061897862344] 
		\draw    (476.5,25) -- (476.5,120) ;
		\draw [shift={(476.5,122)}, rotate = 270] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
		
		% Text Node
		\draw (37,131) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]   [align=left] {L=2};
		% Text Node
		\draw (187,131) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]   [align=left] {L=1};
		% Text Node
		\draw (337,130) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]   [align=left] {L=2};
		% Text Node
		\draw (488,130) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]   [align=left] {L=3};
	\end{tikzpicture}
	\caption{$S_4$的$[2,2]$表示的钩子规则}
\end{figure}

\begin{theorem}{钩子规则}
	\begin{equation}
		\boxed{
			d_{[\lambda]}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^n L_i}	
		}
	\end{equation}
\end{theorem}

这里$L_i$表示钩长，计算方法就是从右往左画箭头，碰到要求的那个格子之后往下走（构成了一个钩子），然后数钩子总共占了多少格子，就是钩长。

\subsection{置换群直积表示约化}
这里介绍一种图形规则——{\itshape Littlewood-Richardson}规则，来计算直积表示的约化。

\begin{theorem}{计算规则}
	对于表示$[\lambda]\otimes[\mu]$，首先选取一个作为基础，将另一个杨图的各行各子分别填以行数，让后从第一行开始，从上而下逐行把$[\mu]$的格子补到杨图$[\lambda]$上，但每补充一行格子都要求满足如下条件：
	\begin{itemize}
		\item 每行补完之后的图是正则杨图
		\item 填相同数的格子不在同一列
		\item 从第一行开始，逐行地自右向左读杨图中补上的格子，在读的过程中的每一步，始终保持填数大的格子数目不大于填数小的格子数目。
	\end{itemize}

	这样得到的全部杨图$[\omega]$就是在$[\lambda]\otimes[\mu]$中出现的$S_{n+m}$群的不可约表示，而且出现了几个相同的，就代表重数是多少。
\end{theorem}
下面以$S_3$群的$[2,1]\otimes[2,1]$表示分解说明这一方法：

\begin{equation*}
\ydiagram{2,1}\otimes \ydiagram{2,1}
\end{equation*}
以第一个杨图为基准，第二个杨图填成杨表：\ytableaushort{11,2}

现在先把第一行补上去，也就是{\ }\ytableaushort{11}{\ }补上去，这个时候不用管第三个限制条件。
\begin{center}
	\ytableausetup{aligntableaux=top}
	\ytableaushort{\none\none {*(red)1} {*(red)1} ,\none}*{2,1}\qquad
	\ytableaushort{\none\none {*(red)1},\none {*(red)1}}*{2,1}\qquad
	\ytableaushort{\none\none {*(red)1},\none ,{*(red)1}}*{2,1}\qquad
	\ytableaushort{\none\none, \none {*(red)1},{*(red)1}}*{2,1}
\end{center}

然后再把第二行补上去，也就是{\ }\ytableaushort{2}{\ }，这里要注意第三个规则，比较麻烦，首先注意到肯定不能补到第一行，否则按照第三条规则去读表，第一个读到的就是$2$这个大数字，填$2$的格子这一步便超过了填$1$的格子。

\begin{align*}
	\ytableausetup{aligntableaux=top}
	&\ytableaushort{\none\none {*(red)1} {*(red)1} ,\none {*(blue) 2}}*{2,1}&
	&\ytableaushort{\none\none {*(red)1} {*(red)1} ,\none ,{*(blue) 2}}*{2,1}&
	&\ytableaushort{\none\none {*(red)1} ,\none  {*(red)1}{*(blue) 2}}*{2,1}&
	&\ytableaushort{\none\none {*(red)1}  ,\none{*(red)1}, {*(blue) 2}}*{2,1}&\\
	&\ytableaushort{\none\none {*(red)1} ,\none {*(blue) 2},{*(red)1} }*{2,1}&
	&\ytableaushort{\none\none {*(red)1}  ,\none, {*(red)1},{*(blue) 2}}*{2,1}&
	&\ytableaushort{\none\none ,\none {*(red)1} , {*(red)1}{*(blue) 2}}*{2,1}&
	&\ytableaushort{\none\none  ,\none{*(red)1}, {*(red)1}, {*(blue) 2}}*{2,1}&
\end{align*}
所以最终我们得到：
\[[2,1]\otimes[2,1]=[3,2,1]^2\oplus[4,2]\oplus[4,1,1]\oplus[3,1,1,1]\oplus[3,3]\oplus[2,2,2]\oplus[2,2,1,1]\]
这里右上角上标表示重数。

\subsubsection{计算$S_{n+m}$在子群$S_n\otimes S_m$上的分导表示的约化}
现在相当于是倒过来，我们去计算$[\omega]$在$[\lambda]\otimes[\mu]$上的约化。
\begin{theorem}{计算规则}
	诸葛把$S_n$群不可约表示的杨图$[\lambda]$嵌入到杨图$\omega$的左上角\footnote{为了方便计算，取大一点的群来嵌入更好}，如果无法嵌入则排除，能嵌入则\textbf{在剩下的格子中}分别尝试把$S_m$群的各种不等价不可约表示的杨图$\mu$按照{\itshape Littlewood-Richardson}规则补入，每一种补法对应出现的一个子群表示。
\end{theorem}

下面以$S_3\otimes S_3\subset S_6$，对$[3,2,1]$进行约化来说明这一方法。

首先是嵌入，有三种可能性：
\begin{center}
	\ydiagram[*(white)]{0,2,1}*[*(red)]{3}\qquad
	\ydiagram[*(white)]{2+1,1+1,1}*[*(red)]{2,1}\qquad
	\ydiagram[*(white)]{1+2,1+1}*[*(red)]{1,1,1}
\end{center}
对第一种嵌入，显然根据{\itshape Littlewood-Richardson}规则的第二条，只可能补入{\ }\ydiagram{2,1}{\ }：
\begin{center}
	\ytableaushort{\none\none\none,11,2}*[*(red)]{3}*[*(blue)]{3,2}*[*(green)]{3,2,1}
\end{center}
所以表示约化后会出现一次{\ }$\ydiagram{3}\otimes\ydiagram{2,1}$

后面的几种嵌入同样操作我们得到补入：
\begin{equation*}
	\ytableaushort{\none\none1,\none1,1}*[*(red)]{2,1}*[*(blue)]{3,2,1}\qquad
	\ytableaushort{\none\none1,\none1,2}*[*(red)]{2,1}*[*(blue)]{3,2}*[*(green)]{3,2,1}\qquad
	\ytableaushort{\none\none1,\none2,1}*[*(red)]{2,1}*[*(blue)]{3,1,1}*[*(green)]{3,2}\qquad
	\ytableaushort{\none\none1,\none2,3}*[*(red)]{2,1}*[*(blue)]{3,}*[*(green)]{3,2}*[*(yellow)]{3,2,1}\qquad
	\ytableaushort{\none11,\none2,\none}*[*(red)]{1,1,1}*[*(blue)]{3}*[*(green)]{3,2}
\end{equation*}
所以最终表示约化为：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		[3,2,1]=&\left([3]\otimes[2,1]\right)\oplus\left([2,1]\otimes[3]\right)\oplus\left([2,1]\otimes[1,1,1]\right)\oplus\left([2,1]\otimes[2,1]\right)^2\\&\oplus\left([1,1,1]\otimes[2,1]\right)
	\end{aligned}
\end{equation}

\section{转动群}
本节要点是介绍$SO(3)$和$SU(2)$群，这实际上属于是李群的内容，不过用我们这种有限群的理解方法对于单纯的学习量子力学已经完全够用了。
\subsection{$SO(3)$和$SU(2)$}
空间中的旋转从几何意义上看就应该构成一个群，它在$\mathbbm{R}^3$上有一个非常显然的表示，经典力学中研究刚体定点转动时我们就用Euler角参数化转动后得到旋转矩阵，可以看作是$SO(3)$群在$\mathbbm{R}^3$上的表示：
\begin{equation}
	\label{eq:D.4.27}
	\begin{aligned}
		\mathcal{R}&=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{\cos \psi }&{ - \sin \psi }&0 \\ 
				{\sin \psi }&{\cos \psi }&0 \\ 
				0&0&1 
		\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				1&0&0 \\ 
				0&{\cos \theta }&{ - \sin \theta } \\ 
				0&{\sin \theta }&{\cos \theta } 
		\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{\cos \phi }&{ - \sin \phi }&0 \\ 
				{\sin \phi }&{\cos \phi }&0 \\ 
				0&0&1 
		\end{array}} \right)\\
	&=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
			{\cos \psi \cos \phi  - \cos \theta \sin \phi \sin \psi }&{\sin \psi \cos \phi  + \cos \theta \sin \phi \cos \psi }&{\sin \theta \sin \phi } \\ 
			{ - \cos \psi \sin \phi  - \cos \theta \cos \phi \sin \psi }&{ - \sin \psi \sin \phi  + \cos \theta \cos \phi \cos \psi }&{\sin \theta \cos \phi } \\ 
			{\sin \theta \sin \psi }&{ - \sin \theta \cos \psi }&{\cos \theta } 
	\end{array}} \right)
	\end{aligned}
\end{equation}
不同的参数化方式就会给出不同的表示，这里选取的是常用的$ZXZ$约定和转动的主动观点。

这些矩阵显然是所谓实向量空间上的等距同构$R^TR=\mathbbm{1}$，而且不改变空间手征$|R|=1$. 所以常常我们也直接称$SO(3)$群为满足上面条件的$3\times 3$矩阵群，英文直译就是特殊正交群。$SO(n)$顺势就可以推广为$n\times n$的特殊正交群，表征$\mathbbm{R}^n$中的转动。\footnote{不要想当然的以为$SO(n)$需要$n$个参数参数化，实际上需要确定$\mathbbm{R}^n$中的转动的参数个数为$n(n-1)/2$.}

$SU(2)$群直译就是特殊酉群，满足$SU(2)=\{\mathcal{U}\in\mathbbm{C}^{2\times 2}|\mathcal{U}^\dagger \mathcal{U},|\mathcal{U}|=1\}$. 显然它需要两个满足$aa^*+bb^*=1$的实参数参数化：
\[\mathcal{U}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
		a&b \\ 
		{ - {b^*}}&{{a^*}} 
\end{array}} \right)\]
引入三个无迹厄米矩阵，也就是Pauli矩阵：
\begin{equation}
		\sigma_x\equiv\begin{pmatrix}
			0&1\\
			1&0
		\end{pmatrix},
		\sigma_y\equiv\begin{pmatrix}
			0&-i\\
			i&0
		\end{pmatrix},
		\sigma_z\equiv\begin{pmatrix}
			1&0\\
			0&-1
		\end{pmatrix}
\end{equation}
$\mathbbm{R}^3$中的任意一个向量：
\[\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\]
可以和一个$\mathbbm{C}^{2\times 2}$上的无迹厄米矩阵联系起来：
\[\mathbf{r}\leftrightarrow\mathbf{r}\cdot\vec{\sigma}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
		z&{x - iy} \\ 
		{x + iy}&{ - z} 
\end{array}} \right)\]

而不难发现这种联系是满的，也就是说任何一个$\mathbbm{C}^{2\times 2}$上的无迹厄米矩阵都可以找到$\mathbbm{R}^3$中的一个向量对应。

我们来看下$SU(2)$中群元对$\mathbf{r}\cdot\vec{\sigma}$的伴随作用：
\[\left[\mathcal{U}(\mathbf{r}\cdot\vec{\sigma})\mathcal{U}^{-1}\right]^\dagger=\mathcal{U}(\mathbf{r}\cdot\vec{\sigma})\mathcal{U}^{-1}\]
\[\operatorname{Tr}\left[\mathcal{U}(\mathbf{r}\cdot\vec{\sigma})\mathcal{U}^{-1}\right]=\operatorname{Tr}(\mathbf{r}\cdot\vec{\sigma})=0\]

可见最终得到的还是无迹厄米矩阵，或者按照前面一一对应的观点，这是一个$\mathbbm{R}^3\mapsto\mathbbm{R}^3$的映射。而且由于$|\mathbf{r}\cdot\mathbf{\sigma}|=r$，而这个伴随作用显然不改变行列式的值，也就是说这也对应着$\mathbbm{R}^3$上的一个等距同构。这其实就启发我们建立$SU(2)$群到$SO(3)$群的同态关系：
\begin{equation}
	\mathcal{U}(\mathbf{r}\cdot\vec{\sigma})	\mathcal{U}^{-1}=\left[\mathscr{R}(\mathcal{U})\mathbf{r}\right]\cdot\vec{\sigma}
\end{equation}
经过亿点点计算可以发现任何一个$SU(2)$群元都有$SO(3)$元素对应：
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
		{\frac{1}{2}\left( {{a^2} + {a^{*2}} - {b^2} - {b^{*2}}} \right)}&{ - \frac{i}{2}\left( {{a^2} - {a^{*2}} + {b^2} - {b^{*2}}} \right)}&{ - \left( {ab + {a^*}{b^*}} \right)} \\ 
		{\frac{i}{2}\left( {{a^2} - {a^{*2}} - {b^2} + {b^{*2}}} \right)}&{\frac{1}{2}\left( {{a^2} + {a^{*2}} + {b^2} + {b^{*2}}} \right)}&{i\left( {{a^*}{b^*} - ab} \right)} \\ 
		{{a^*}b + {b^*}a}&{i\left( {{a^*}b - {b^*}a} \right)}&{a{a^*} - b{b^*}} 
\end{array}} \right)\]
不难证明这的确是一个同态，前面我们说明的是$SU(2)$群中元素都能找到一个$SO(3)$群元对应，现在我们反过来去证明这个同态是满的。

由于$SO(3)$群元都可以分解成绕三个坐标轴的旋转，而且同态保乘法结构，所以我们转而去寻找绕三个坐标轴旋转所对应的$SU(2)$群元。

不难发现下面三个对应关系：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		&\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{{e^{ - i\alpha /2}}}&0 \\ 
				0&{{e^{i\alpha /2}}} 
		\end{array}} \right)\overset Z \longleftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{\cos \alpha }&{ - \sin \alpha }&0 \\ 
				{\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0 \\ 
				0&0&1 
		\end{array}} \right)\\
		&\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{\cos \frac{\beta }{2}}&{ - \sin \frac{\beta }{2}} \\ 
				{\sin \frac{\beta }{2}}&{\cos \frac{\beta }{2}} 
		\end{array}} \right)\overset Y \longleftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{\cos \beta }&0&{\sin \beta } \\ 
				0&1&0 \\ 
				{ - \sin \beta }&0&{\cos \beta } 
		\end{array}} \right)\\
		&\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{\cos \frac{\gamma }{2}}&{i\sin \frac{\gamma }{2}} \\ 
				{i\sin \frac{\gamma }{2}}&{\cos \frac{\gamma }{2}} 
		\end{array}} \right)\overset X \longleftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				1&0&0 \\ 
				0&{\cos \gamma }&{ - \sin \gamma } \\ 
				0&{\sin \gamma }&{\cos \gamma } 
		\end{array}} \right)
	\end{aligned}
\end{equation}
所以\ref{eq:D.4.27}就对应:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
		{{e^{ - i\left( {\psi  + \phi } \right)/2}}\cos \frac{\theta }{2}}&{i{e^{i\left( {\phi  - \psi } \right)/2}}\sin \frac{\theta }{2}} \\ 
		{i{e^{ - i\left( {\phi  - \psi } \right)/2}}\sin \frac{\theta }{2}}&{{e^{i\left( {\psi  + \phi } \right)/2}}\cos \frac{\theta }{2}} 
\end{array}} \right)\]
另外对于旋转轴$\hat{\mathbf{n}}$，旋转角$\phi$：
\[
	\mathcal{U}=\exp\left(-\frac{i\phi}{2}\mathbf{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right)
\]

这个同态显然不能升级为同构，$u$和$-u$就对应着同一个$SO(3)$群元。严谨些，从同态核定理出发${I,-I}$显然是同态核，所以这个同态实际上是二对一的关系，常常称$SU(2)$是$SO(3)$的双覆盖。

\subsection{转动群的不可约表示}
我们先来看$SU(2)$群的表示\footnote{这里考虑的实际上是其复线性表示。}，在开始之前要先说明，在经典力学研究刚体转动时，我们的欧拉角用的是$ZXZ$约定，对应的角度记为$(\psi,\theta,\phi)$，就像上一小节那样.然而\textbf{在量子力学中我们更多使用的是$ZYZ$约定，对应的角度记为$(\alpha,\beta,\gamma)$}. 所以后面的讨论统一使用这一表述.

我们考虑的是某个函数空间$\mathscr{L}^j$中的表示，其中的函数是二元复线性函数，形如：$\psi(\mathbf{z})=\sum_{k=0}^n c_kz_1^{n-k}z_2^k$. 习惯上我们取$j=n/2=0,1/2,1,3/2,\cdots$，则可以得到对应的$\mathscr{L}^j$中的一组基底为：
\begin{equation}
	\psi_m^j(\mathbf{z})\equiv\frac{(-1)^{j-m}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}z_1^{j-m}z_2^{j+m},\quad m=-j,j+1,\cdots,j-1,j
\end{equation}
显然这是一个$2j+1$维表示，既然是函数空间的表示，那首先我们要研究$SU(2)$群元对自变量的作用，$\mathbf{z}\in \mathbbm{C}^2$：
\[\mathcal{U}\mathbf{z}=\mathcal{U}\begin{pmatrix}
	z_1 \\
	z_2
\end{pmatrix}\]
那么表示$\mathscr{A}$满足：
\[\left[\mathscr{A}(\mathcal{U})\psi_m^j\right](\mathbf{z})=\psi_m^j(\mathcal{U}^{-1}\mathbf{z})=\sum_{m^\prime}\mathcal{A}^j_{m^\prime m}(\mathcal{U})\psi_{m^\prime}^j(\mathbf{z})\]
$\mathcal{A}^j_{m^\prime m}$就是代求的表示矩阵元。\footnote{注意这里$m$可能是半整数，所以指标的意思是按照$-j\sim j$的顺序去排列矩阵。}利用Euler角参数化$SU(2)$中元素为：
\begin{equation}
	\mathcal{U}(\alpha,\beta,\gamma)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
			{{e^{ - i\alpha /2}}}&0 \\ 
			0&{{e^{i\alpha /2}}} 
	\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
			{\cos \frac{\beta }{2}}&{ - \sin \frac{\beta }{2}} \\ 
			{\sin \frac{\beta }{2}}&{\cos \frac{\beta }{2}} 
	\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
	{{e^{ - i\gamma /2}}}&0 \\ 
	0&{{e^{i\gamma /2}}} 
\end{array}} \right)
\end{equation}

既然表示保乘法，那么我们就可以先分开求三个基本的$SU(2)$群元的表示矩阵然后再相乘即可。

首先看绕$z$轴转动$\alpha$，$\mathcal{U}(\alpha,0,0)$:
\begin{equation}
	\begin{aligned}
	\psi_m^j\left[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
			{{e^{ - i\alpha /2}}}&0 \\ 
			0&{{e^{i\alpha /2}}} 
	\end{array}} \right)^{-1}\begin{pmatrix}
	z_1\\
	z_2
	\end{pmatrix}\right]=&\psi_m^j\left(e^{i\alpha/2}z_1,e^{-i\alpha/2}z_2\right)\\
	=& \frac{(-1)^{j-m}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}z_1^{j-m}z_2^{j+m} e^{-i\alpha m}\\
	=&e^{-im\alpha}\psi_m^j(\mathbf{z})
\end{aligned}
\end{equation}
$\mathcal{U}(0,0,\gamma)$只是$\alpha\to\gamma$，所以两者的表示矩阵为：
\begin{align}
	&\mathcal{A}_{m^\prime m}^j\left[\mathcal{U}(\alpha,0,0)\right]=\delta_{m^\prime m}e^{-im\alpha}\label{eq:D.36}\\
&\mathcal{A}_{m^\prime m}^j\left[\mathcal{U}(0,0,\gamma)\right]=\delta_{m^\prime m}e^{-im\gamma}	\label{eq:D.37}
\end{align}
比较麻烦的是$\mathcal{U}(0,\beta,0)$:
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		&\psi_m^j\left[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
				{\cos \frac{\beta }{2}}&{ - \sin \frac{\beta }{2}} \\ 
				{\sin \frac{\beta }{2}}&{\cos \frac{\beta }{2}} 
		\end{array}} \right)\begin{pmatrix}
	z_1\\
z_2
\end{pmatrix}\right]=\psi_m^j\left(z_1\cos\frac{\beta}{2}+z_2\sin\frac{\beta}{2},-z_1\sin\frac{\beta}{2}+z_2\cos\frac{\beta}{2}\right)\\
=&\frac{(-1)^{j-m}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}\left(z_1\cos\frac{\beta}{2}+z_2\sin\frac{\beta}{2}\right)^{j-m}\left(-z_1\sin\frac{\beta}{2}+z_2\cos\frac{\beta}{2}\right)^{j+m}
\\
=&
\frac{(-1)^{j-m}}{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}\left[\sum_{r=0}^{j-m}\frac{(j-m)!}{r!(j-m-r)!}\left(z_1\cos\frac{\beta}{2}\right)^{j-m-r}\left(z_2\sin\frac{\beta}{2}\right)^r\right]\\
&\times\left[\sum_{r^\prime=0}^{j+m}\frac{(j+m)!}{r^\prime!(j+m-r^\prime)!}\left(-z_1\sin\frac{\beta}{2}\right)^{j+m-r^\prime}\left(z_2\cos\frac{\beta}{2}\right)^{r^\prime}\right]\\
=&(-1)^{j-m}\sum_{r=0}^{j-m}\sum_{r^\prime=0}^{j+m}(-1)^{j+m-r^\prime}\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!}}{r!r^\prime!(j-m-r)!(j+m-r^\prime)!}\\
&\times\left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{j-m-r-r^\prime}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{j+m+r-r^\prime}z_1^{2j-r-r^\prime}z_2^{r+r^\prime}
	\end{aligned}
\end{equation}
交换上面求和的顺序，并令$m^\prime=r+r^\prime-j$作换元得：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\ell.h.s=&\sum_{m^\prime=r-j}^{r+m}\sum_{r=0}^{j-m}\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j+m^\prime)(j-m^\prime)!}}{r!(j-m-r)!(j+m^\prime-r)!(r+m-m^\prime)!}\\
		&\times (-1)^r\left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j-m-2r+m^\prime}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m+2r-m^\prime}\\
			&\times \frac{(-1)^{j-m^\prime}}{\sqrt{(j+m^\prime)!(j-m^\prime)!}}z_1^{j-m^\prime}z_2^{j+m^\prime} 
	\end{aligned}
\end{equation}
如果我们进一步规定对指标$r$的求和中指标满足下面几条：
\[r\geq 0;\quad r\leq j-m;\quad r\leq j+m^\prime;\quad r\geq m^\prime-m\]
那么上式可以写成下面的形式：
\[\sum_{m^\prime=-j}^j\mathcal{A}^j_{m^\prime m}(\mathcal{U})\psi_{m^\prime}^j(\mathbf{z})\]
其中矩阵元为：
\begin{align*}
	\sum_{r=\max \{0,m^\prime-m\}}^{\min\{j-m,j+m^\prime\}}&\frac{\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j+m^\prime)(j-m^\prime)!}}{r!(j-m-r)!(j+m^\prime-r)!(r+m-m^\prime)!}
 \\
 &\times(-1)^r\left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j-m-2r+m^\prime}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m+2r-m^\prime}
\end{align*}
利用上面的公式以及\ref{eq:D.36}\ref{eq:D.37}我们写出前三维表示：
\subsubsection*{一维表示(j=0)}
就是平凡的恒等表示：$\mathcal{A}^0_{00}(\alpha,\beta,\gamma)\equiv 1$
\subsubsection*{二维表示(j=1/2)}
就是$SU(2)$群直接使用Euler角参数化得到的结果：
\begin{equation}
	\mathcal{A}^{\frac{1}{2}}(\alpha,\beta,\gamma)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
			{{e^{ - i\left( {\alpha  + \gamma } \right)/2}}\cos \frac{\beta }{2}}&{-{e^{-i\left( {\alpha  - \gamma } \right)/2}}\sin \frac{\beta }{2}} \\ 
			{{e^{i\left( {\alpha  - \gamma} \right)/2}}\sin \frac{\beta }{2}}&{{e^{i\left( {\alpha  + \gamma } \right)/2}}\cos \frac{\beta }{2}} 
	\end{array}} \right)
\end{equation}
\subsubsection*{三维表示(j=1)}
\begin{equation}
	\mathcal{A}^{1}(\alpha,\beta,\gamma)=\left(\begin{array}{ccc}
		\mathrm{e}^{-i(\alpha+\gamma)} \cos ^{2} \frac{\beta}{2} & -\sqrt{2} \mathrm{e}^{-i \alpha} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\beta}{2} & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\alpha-\gamma)} \sin ^{2} \frac{\beta}{2} \\
		\sqrt{2} \mathrm{e}^{-i \gamma} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\beta}{2} & \cos ^{2} \frac{\beta}{2}-\sin ^{2} \frac{\beta}{2} & -\sqrt{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \gamma} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\beta}{2} \\
		\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha-\gamma)} \sin ^{2} \frac{\beta}{2} & \sqrt{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\beta}{2} & \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha+\gamma)} \cos ^{2} \frac{\beta}{2}
	\end{array}\right)
\end{equation}
\subsubsection*{$SO(3)$群的表示}
当指标$j$取遍所有整数和半整数之后我们就得到了$SU(2)$群的所有不等价不可约酉表示\footnote{或者严谨点说是某一簇}。可以证明，当$j$为整数时，$\mathscr^j{\mathcal{U}}=\mathscr^j{-\mathcal{U}}$，我们称之为偶表示，$\pm\mathcal{U}$对应的表示是相同的，正如$SU(2)$与$SO(3)$群的同态关系一样，所以这种偶表示可以自然的也与$SO(3)$群建立起同态关系，当所有偶表示取遍之后我们便得到了$SO(3)$群的所有不可约不等价酉表示。

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{fig/D.4.pdf}
	\label{fig:D.4}
	\caption{SO(3)群与SU(2)偶表示之间的关系}
\end{figure}

但是对于$j$取半整数的奇表示，$\mathscr^j{\mathcal{U}}=-\mathscr^j{-\mathcal{U}}$，虽然不是$SO(3)$群的表示但是我们可以定义$SO(3)$群的\textbf{双群$SO^D(3)$}的概念。

我们强行规定绕某个轴转动$2\pi$的操作$\bar{E}$不是一个恒等操作，但是$\bar{E}\bar{E}=E$，比如强行规定$R(\alpha,\beta,\gamma)\neq R(\alpha+2\pi,\beta,\gamma)$，那么把原先的$SO(3)$群元以及$\bar E\cdot SO(3)$合在一起，在原先的乘法定义下构成一个新的群称为$SO^D(3)$. 显然这将原先的群扩大了一倍，而且$SO^D(3)\cong SU(2)$，它的表示自然就是$SU(2)$的奇表示.
\subsubsection*{特征标}
注意到特征标是类的函数，在讨论转动群的类的时候用Euler角就不那么好使了，我们使用转动轴和转角描述转动，即$R(\mathbf{n},\varphi)$，其中$\varphi\in [0,2\pi)$和$\mathbf{n}$满足右手定则。

对于两个不同转轴但是相同转角的转动是同类转动，因为我们总是可以找到一个转动将两个转轴重合。所以特征标只是$\varphi$的函数：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
	\chi^j(\varphi)&=\chi^j\left[R(\varphi,0,0)\right]=\sum_{m=-j}^je^{-im\varphi}\\
	&=\boxed{\frac{\sin\left[\left(j+\frac{1}{2}\right)\varphi\right]}{\sin\frac{\varphi}{2}}}
	\end{aligned}
\end{equation}

\subsubsection*{转两圈才回到原位}
前面研究$SU(2)$群表示是为了得到$SO(3)$群表示，可以帮助我们分析三维空间中的转动对称性，而副产物$SO^D(3)$对应的正是自旋态，可以帮助我们分析考虑自旋效应后的能级劈裂。

譬如要研究自旋-轨道耦合，$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$选取CSCO为$H,J^2,J_z,S_z,S^2$，对于电子$S^2\equiv\frac{1}{2}$. 完整描述电子本征态需要空间波函数和内禀的自旋部分，前面我们是用张量积表示的，实际上我们也完全可以把电子本征态用一个Spinor表示\footnote{更多有关使用旋量处理自旋问题的材料可以参见Landau量子力学卷。我更喜欢直接当成一个自旋空间的态矢量处理。}，其实就是用一个括弧括起来统一处理$\ket{\uparrow}$和$\ket{\downarrow}$.\footnote{前面我们处理自旋其实是没有考虑自旋轨道耦合的处理方法。}
\[\Psi_{jm}=\begin{pmatrix}
	\psi_{jm}(\mathbf{r},t,\hbar/2)\\
	\psi_{jm}(\mathbf{r},t,-\hbar/2)
\end{pmatrix}\]
一般情况是这些本征态的线性组合，spinor第一分量是$S_z=\hbar/2$对应的波函数空间依赖，第二分量是$S_z=-\hbar/2$对应的波函数空间依赖。

现在我对系统施加一个转动$R(\alpha,0,0)$:
\[R(\alpha,0,0)\Psi_{jm}=e^{-\frac{i}{\hbar}\alpha J_z}\Psi_{jm}=e^{-i\alpha m}\Psi_{jm}\]

上面的计算中利用了$J_z\Psi_{jm}=\hbar m\Psi_{jm}$.显然对于电子$j=1/2$，这意味着只有转$4\pi$也就是两圈才能将系统波函数返回至原位.这就刚好和$SO^D(3)$转动对应起来了，而不是$SO(3)$转动. 所以原先的$SO(3)$对称性在考虑自旋-轨道耦合之后被破坏了.
\subsection{*CG系数与角动量耦合}
物理上关心的一个重要问题就是两个表示的张量积一般是可约表示，如何将其进行约化？用矩阵的语言来说就是两个表示矩阵张量积后如何选取新的基底将其分块对角化，每一个块便是更小的不可约表示。

前面我们做$SO(3)$群的表示并不是按照Lie群方法做的，实际上对于$SO(3)$群，我们会先选择做其Lie代数$\mathfrak{so}(3)$的表示，然后通过指数映射得到$SO(3)$的表示。
\begin{define}{$\mathfrak{so}(3)$李代数}
	\begin{equation}
		\label{eq:D.47}
		[J_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}J_k,\qquad(i,j,k=1,2,3)
	\end{equation}
\end{define}

Lie代数其实就是一个向量空间，只是要多加上一条特殊的乘法规则（Lie括号）让它升级为代数。而所谓表示，就是保持乘法（对易关系）不变，将每一个Lie代数中元素映射到线性空间（表示空间）中的一个算符。将上面的$\mathfrak{so}(3)$与角动量算符之间的对易关系\ref{eq:4.48}对比我们发现$J_i\to\hbar L_i$便是一个表示，所以实际上角动量算符正是$\mathfrak{so}(3)$李代数的一个表示。而且这里我们可以更近一步，不仅是轨道角动量，自旋角动量、总角动量都满足\ref{eq:D.47}的对易关系，所以只要谈到角动量，不管是什么角动量，其本质都是$\mathfrak{so}(3)$李代数的一个表示。对应的角动量表象$\ket{jm}$张成的空间便是表示空间。我们便可以在角动量表象下具体的用矩阵写出$\mathfrak{so}(3)$李代数的表示了：
\begin{align}
	&\label{eq:D.48}J_\pm\ket{jm}=\sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)}\ket{jm+1}\\
	&\label{eq:D.49}J_3\ket{jm}=m\ket{jm}
\end{align}

不难发现，每一个$j$的取值对应的是一个不变子空间\footnote{实际上这里$J^2\ket{jm}=j(j+1)\ket{jm}$,$J^2$与每一个生成元都对易，类似于舒尔引理，其在每个不可约表示中一定是正比于单位阵，所以其本征值可以用于标记不可约表示，其简并的本征空间（这里简并度是$2j+1$）就是不可约表示空间。这种算符叫做\textbf{Casimir算符}}，所以$j=0,\frac{1}{2},\ldots$我们便得到了$2j+1$维的不可约表示。

Lie代数表示做出来之后我们大抵上就认为群的表示也做出来了，因为我们总可以通过指数映射得到参数化的群元：
\begin{equation}
	D(\mathbf{\theta})=\mathrm{e}^{-i\mathbf{\theta}\cdot\mathbf{J}}
\end{equation}

可以证明\footnote{见喀兴林书中有关部分}，这样子从Lie代数出发得到的表示$D^j$矩阵和前面的方法得到的表示矩阵是一致的。不过这样得来物理上更加清晰。

我们再来看一下两个表示的张量积，其表示空间自然是原先两个表示空间的张量积，也就是说$D^{j_1\times j_2}=D^{j_1}\otimes D^{j_2}$的表示空间是所谓非耦合表象$\ket{j_1m_1}\ket{j_2m_2}$，现在我们想对它进行约化，也就是说想只知道它与耦合表象$\ket{j_1j_2jm}$之间的关系，在耦合表象下$D^{j_1\times j_2}$分块对角化，每个$j$对应一个矩阵块，也就是不可约表示。
耦合表象和非耦合表象之间的关系就是所谓的CG系数（使用喀兴林书上的记号）：
\begin{equation}
	S_{m_1m_2jm}^{j_1j_2}\equiv \bra{j_1m_1}\bra{j_2m_2}\ket{j_1j_2jm}=\braket{j_1j_2m_1m_2|jm}
\end{equation}

显然CG系数构成了一个矩阵就是将$D^{j_1\times j_2}$分块对角化的矩阵，显式的写出来就是：
\begin{equation}
	\left[S^{-1}(D^{j_1}\otimes D^{j_2})S\right]_{j^\prime m^\prime,jm}=\delta_{jj^\prime }D^{j}_{m^\prime m}
\end{equation}

$D^{j_1\times j_2}$既然也是表示，我们也相当于给其Lie代数选取了一个表示，对应的生成元算符我们用$J$表示，现在看一下$J$和$J_1,J_2$之间有什么联系\footnote{这里为了下面符号的简便和推导过程的清晰，我略去了向量黑体以及点乘符号，这里所有的生成元都应该理解为三个分量。}：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		D^{j_1\times j_2}&=D^{j_1}\otimes D^{j_2}\simeq\left(\mathbbm{1}-id\theta J_1\right)\otimes\left(\mathbbm{1}-id\theta J_2\right)\\
		&\simeq\mathbbm{1}-id\theta\left( J_1\otimes \mathbbm{1}+\mathbbm{1}\otimes J_2\right)\\
		&=\mathbbm{1}-id\theta J\\
		\Rightarrow J&= J_1\otimes \mathbbm{1}+\mathbbm{1}\otimes J_2=\boxed{J_1+J_2}
	\end{aligned}
\end{equation}

群表示的张量积体现到Lie代数上就变成了算符的和！而角动量不就是$SO(3)$Lie代数的表示吗？而且耦合表象$\ket{jm}$其实就是由$J$算符构成的$\mathfrak{so}(3)$Lie代数的本征矢\footnote{因为每个$j$的取值都是一个不变子空间，对应的就是更小的不可约表示，从代数结构的一致性就可以轻松发现这一点。}，也就是\ref{eq:D.48}和\ref{eq:D.49}。所以$J$从物理上看就是总角动量！我们做角动量的耦合实际上就是在做$SO(3)$表示的张量积的约化，所谓总角动量取值可能就是在问$j$可以取哪些值。这一点我们可以从表示的维数上看出来\footnote{更严谨的证明可以用上升下降算符作用于最高权来构造，详见WKT群论教材相关部分。}：
\begin{theorem}{$SO(3)$群表示的约化}
	\begin{equation}
		j_1\otimes j_2=|j_1-j_2|\oplus|j_1-j_2|+1\oplus\cdots\oplus j_1+j_2 
	\end{equation}
\end{theorem}

计算CG系数的方法非常多，这里以$1\otimes \frac{1}{2}$说明群论出发的计算概要。

首先$1\otimes \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\oplus\frac{3}{2}$，最高权\footnote{耦合表象的$j,m$都最大}为$\ket{\frac{3}{2}\frac{3}{2}}$，$J_z=J_{1z}+J_{2z}$，所以$m=m_1+m_2$，那么$\ket{\frac{3}{2}\frac{3}{2}}$只可能是：
\[\ket{\frac{3}{2}\frac{3}{2}}=\ket{11}\ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}=\ket{1\frac{1}{2}}\]
现在对等式两边同时作用$J_{-}=J_{1-}+J_{2-}$得到（\ref{eq:D.48}）：
\begin{equation}
	\label{D.56}
	\ket{\frac{3}{2}\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{1-\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{0\frac{1}{2}}	
\end{equation}
我们可以继续用下降算符计算出所有$j=\frac{3}{2}$相关的CG系数：
\begin{align*}
	&\ket{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{-1\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{0-\frac{1}{2}}\\
	&\ket{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}=\ket{-1-\frac{1}{2}}
\end{align*}

不难发现其实你只需要计算$m>0$的那一半就好，另一半全部将$m,m_1,m_2$反号就好，这是对称性在帮助我们计算。\footnote{严格来说这样做有可能会和CG系数的惯例差一个overall负号，不出差错的做法是使用下面的符号约定：
\[\braket{j_1,j_2,m_1,m_2|J,M}=(-1)^{J-j_1-j_2}\braket{j_1,j_2,-m_1,-m_2|J,-M}\]}

不过别忘了还有$j=\frac{1}{2}$，对应的最高权是$\ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}$，观察\ref{D.56}，我们只用了$\ket{1-\frac{1}{2}}$和$\ket{0\frac{1}{2}}$线性组合中的一个，剩下的一个正交的线性组合只能是：
\[\ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{-1\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{0\frac{1}{2}}\]
同样的我们再利用下降算符便可以得到：\footnote{或者说更简单点根据对称性将$m$全部反号}
\[\ket{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\ket{1-\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\ket{0-\frac{1}{2}}\]
最后我们给一个CG系数的一般公式以便查阅\footnote{这里给的是Racah形式，优点就是形式特别对称}：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		& \braket{ m_{1} m_{2} | j m}\\
		= & \delta_{m_{1}+m_{2}, m} \sqrt{(2 j+1) \frac{\left(j_{1}+j_{2}-j\right) !\left(j+j_{2}-j_{1}\right) !\left(j+j_{1}-j_{2}\right) !}{\left(j_{1}+j_{2}+j+1\right) !}} \\
		& \times \sqrt{(j+m) !(j-m) !\left(j_{1}+m_{1}\right) !\left(j_{1}-m_{1}\right) !\left(j_{2}+m_{2}\right) !\left(j_{2}-m_{2}\right) !} \\
		& \times \sum_{k} \frac{(-1)^{k}}{k !\left(j_{1}+j_{2}-j-k\right) !} \\
		& \times \frac{1}{\left(j_{1}-m_{1}-k\right) !\left(j_{2}+m_{2}-k\right) !\left(j-j_{2}+m_{1}+k\right) !\left(j-j_{1}-m_{2}+k\right) !}
	\end{aligned}
\end{equation}
其中求和变量的取值范围是不使分母括号中的量为负的所有正整数。

这里我们讲清楚了CG系数于量子力学的联系，量子力学耦合表象到非耦合表象的变换就是$SO(3)$两个不可约表示张量积的约化。而CG系数从历史上看最先提出是想解决两个球谐函数乘积再用球谐函数展开系数的问题。事实上由于$Y^\ell_m(\theta,\phi)=\braket{\theta\phi|\ell m}$，所以这个问题又回到了群表示的约化问题。