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<title>4.3 確率的識別モデル</title>
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<div class="reveal">
<div class="slides">
<section>
<h1>4.3 確率的識別モデル</h1>
<h2>@fishiiiiiii</h2>
<h2><a href="mailto:""">""</a></h2>
<h2></h2></section>
<section>
<h2>Table of Contents</h2><ul>
<li>
<a href="#sec-1">4.3 確率的識別モデル</a>
<ul>
<li>
<a href="#sec-1-1">導入</a>
</li>
<li>
<a href="#sec-1-2">4.3.1 固定基底関数</a>
</li>
<li>
<a href="#sec-1-3">4.3.2 ロジスティック回帰</a>
</li>
<li>
<a href="#sec-1-4">4.3.3 反復再重み付け最小二乗</a>
</li>
<li>
<a href="#sec-1-5">4.3.4 多クラスロジスティック回帰</a>
</li>
<li>
<a href="#sec-1-6">4.3.5 プロビット回帰</a>
</li>
<li>
<a href="#sec-1-7">4.3.6 正準連結関数</a>
</li>
</ul>
</section>
\begin{align*}
\newcommand{\l}{\left}
\newcommand{\r}{\right}
\newcommand{\f}{\frac}
\newcommand{\p}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\T}{{\rm T}}
\newcommand{\A}{{\rm \bf A}}
\newcommand{\B}{{\rm \bf B}}
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\newcommand{\w}{{\rm \bf w}}
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\newcommand{\y}{{\rm \bf y}}
\newcommand{\tt}{{\bf \mathsf{t}}}
\newcommand{\xx}{{\bf \sf x}}
\newcommand{\yy}{{\bf \mathsf{y}}}
\newcommand{\zz}{{\bf \mathsf{z}}}
\newcommand{\bSigma}{{\rm \bf \Sigma}}
\newcommand{\bmu}{\boldsymbol \mu}
\newcommand{\bPhi}{{\rm \bf \Phi}}
\newcommand{\bphi}{\boldsymbol \phi}
\newcommand{\bvphi}{\boldsymbol \varphi}
\newcommand{\E}{{\mathbb{E}}}
\newcommand{\D}{{\cal D}}
\newcommand{\N}{{\cal N}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
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\newcommand{\Bern}{\mathrm{Bern}}
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\newcommand{\Dir}{\mathrm{Dir}}
\newcommand{\Gam}{\mathrm{Gam}}
\newcommand{\St}{\mathrm{St}}
\newcommand{\new}{\text{(new)}}
\newcommand{\old}{\text{(old)}}
\end{align*}
<section id="sec-1" >
<h2>4.3 確率的識別モデル</h2>
</section>
<section>
<section id="sec-1-1" >
<h3>導入</h3>
<ul class="org-ul">
<li>生成モデルでは<br />
<ul class="org-ul">
<li>クラスの事前確率\(p(C_k)\)と\(\x\)の条件付き確率\(p(\x|C_k)\)から、<br />
ベイズの定理を用いて、クラスの事後確率\(p(C_k|\x)\)が<br />
ロジスティックシグモイド関数で書けることを導いた。<br />
</li>
<li>\(\x\)の条件付き確率分布\(p(\x|C_k)\)が指数型分布族ならば、<br />
ロジスティックシグモイド関数の引数が\(\x\)の線形関数になる。<br />
</li>
</ul>
</li>
<li>識別モデルでは<br />
<ul class="org-ul">
<li>クラスの事後確率\(p(C_k|\x)\)が\(\x\)の線形関数の<br />
ロジスティックシグモイド関数で書けることを仮定する。<br />
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-1-2" >
<h3>4.3.1 固定基底関数</h3>
<img src="./Figure4.12a.png" width="40%">
<img src="./Figure4.12b.png" width="40%">
\begin{align*}
\bphi = & \bphi(\x) \\
\phi_k = & \N(\x|\bmu_k,\bSigma)
\end{align*}
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-1-3" >
<h3>4.3.2 ロジスティック回帰</h3>
<p>
事後確率<br />
</p>
\begin{align*}
p(C_1|\bphi) = y(\bphi) = \sigma(\w^\T \bphi)
\end{align*}
<p>
パラメータの数<br />
</p>
<ul class="org-ul">
<li>\(p(C_k) = \alpha_k\) : \(1\) 個<br />
</li>
<li>\(p(\x|C_k) = \N(\x|\bmu_k,\bSigma)\) : \(M + M(M+1)/2\) 個<br />
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-1-3-1" >
<h4></h4>
<p>
ロジスティックシグモイド関数の微分(演習4.12)<br />
</p>
\begin{align*}
\f{\d \sigma(a)}{\d a}
= & \f{\d}{\d a} \f{1}{1 + \exp(-a)} \\
= & \f{\exp(-a)}{\{1 + \exp(-a)\}^{2}} \\
= & \f{1}{1 + \exp(-a)} \f{\exp(-a)}{1 + \exp(-a)} \\
% = & \f{1}{1 + \exp(-a)} \f{\{1 + \exp(-a)\} - 1}{1 + \exp(-a)} \\
= & \f{1}{1 + \exp(-a)} \l(1 - \f{1}{1 + \exp(-a)}\r) \\
= & \sigma (1 - \sigma)
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-3-2" >
<h4></h4>
<p>
尤度関数<br />
</p>
\begin{align*}
p(\tt|\w) = \prod_{n=1}^N y_n^{t_n} \{1 - y_n\}^{1 - t_n}
\end{align*}
\begin{align*}
\text{where} \quad \tt = & (t_1,...,t_N)^\T \\
y_n = & p(C_1|\bphi_n) = \sigma(\w \bphi_n) \\
1 - y_n = & p(C_2|\bphi_n)
\end{align*}
<p>
尤度関数の負の対数をとって誤差関数を定義する。<br />
これを、交差エントロピー誤差関数 cross-entropy error function という。<br />
</p>
\begin{align*}
E(\w) = - \ln p(\tt|\w) = \sum_{n=1}^N \{ t_n \ln y_n + (1 - t_n) \ln (1 - y_n) \}
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-3-3" >
<h4></h4>
<p>
誤差関数の\(\w\)に関する勾配<br />
</p>
\begin{align*}
\nabla E(\w) = & - \sum_{n=1}^N \nabla \{ t_n \ln y_n + (1 - t_n) \ln (1 - y_n) \} \\
= & - \sum_{n=1}^N \l\{ t_n \f{1}{y_n} - (1 - t_n) \f{1}{1 - y_n} \r\} \nabla y_n \\
= & - \sum_{n=1}^N \f{t_n - y_n}{y_n (1 - y_n)} y_n (1 - y_n) \bphi_n \\
= & \sum_{n=1}^N (y_n - t_n) \bphi_n
\end{align*}
<ul class="org-ul">
<li>各データの誤差と特徴ベクトルの積の形になる。<br />
</li>
<li>二乗和誤差関数の勾配の式(3.13)と同じ。<br />
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-1-3-4" >
<h4>データ集合が線形分離可能な場合</h4>
<ul class="org-ul">
<li>最尤解は、\(\w \rightarrow \infty\)、\(\sigma(\w^\T \bphi) \rightarrow H(\bphi)\)となる。<br />
</li>
<li>誤差関数の値の等しい解が連続して無限に存在する。<br />
</li>
<li>対策<br />
<ul class="org-ul">
<li>\(\w\)の事前分布\(p(\w|...)\)を導入しMAP推定する。<br />
</li>
<li>誤差関数に正則化項を付加する。<br />
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-1-4" >
<h3>4.3.3 反復再重み付け最小二乗</h3>
<p>
ニュートン-ラフソン法<br />
</p>
\begin{align*}
f(x) = 0 \quad \quad x^\new = x^\old - \f{f(x^\old)}{f'(x^\old)}
\end{align*}
<p>
誤差関数の勾配に適用する。<br />
</p>
\begin{align*}
\w^\new = \w^\old - \H^{-1} \nabla E(\w) \\
\H \text{:誤差関数のヘッセ行列}
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-4-1" >
<h4>線形回帰モデルの場合</h4>
\begin{align*}
\nabla E(\w) = & \sum_{n=1}^N (\w^\T \bphi_n - t_n) \bphi_n
= \bPhi^\T \bPhi \w - \bPhi^\T \tt \\
\H = \nabla \nabla E(\w) = & \sum_{n=1}^N \bphi_n \bphi_n^\T
= \bPhi^\T \bPhi
\end{align*}
<p>
\(\w\)の更新式<br />
</p>
\begin{align*}
\w^\new = & \w^\old - (\bPhi^\T \bPhi)^{-1} \{ \bPhi^\T \bPhi \w^\old - \bPhi^\T \tt \} \\
= & (\bPhi^\T \bPhi)^{-1} \bPhi^\T \tt
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-4-2" >
<h4>ロジスティック回帰モデルの場合</h4>
\begin{align*}
\nabla E(\w) = & \sum_{n=1}^N (y_n - t_n) \bphi_n
= \bPhi^\T (\yy - \tt) \\
\H = \nabla \nabla E(\w) = & \sum_{n=1}^N y_n (1 - y_n) \bphi_n \bphi_n^\T
= \bPhi^\T \R \bPhi
\end{align*}
\begin{align*}
R_{nn} = y_n (1 - y_n)
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-4-3" >
<h4></h4>
<p>
\(\w\)の更新式<br />
</p>
\begin{align*}
\w^\new = & \w^\old - (\bPhi^\T \R \bPhi)^{-1} \bPhi^\T (\yy - \tt) \\
= & (\bPhi^\T \R \bPhi)^{-1} \{ (\bPhi^\T \R \bPhi) \w^\old - \bPhi^\T (\yy - \tt) \} \\
= & (\bPhi^\T \R \bPhi)^{-1} \bPhi^\T \R \zz
\end{align*}
\begin{align*}
\zz = \bPhi \w^\old - \R^{-1} (\yy - \tt)
\end{align*}
<p>
重み付き最小二乗問題に対する正規方程式と同じ形になる。<br />
ただし、重み行列が\(\w\)に依存している。<br />
</p>
</section>
<section id="sec-1-4-4" >
<h4>\(\R\)の解釈</h4>
<p>
ロジスティック回帰モデルの\(t\)の平均と分散<br />
</p>
\begin{align*}
\E[t] = & \sigma(\x) = y \\
\var[t] = & \E[t^2] - \E[t]^2 = \sigma(\x) - \sigma(\x)^2 = y (1 - y)
\end{align*}
<p>
重み付け対角行列\(\R\)の要素は分散であると解釈できる。<br />
</p>
</section>
<section id="sec-1-4-5" >
<h4>\(\zz\)の解釈</h4>
\begin{align*}
a_n(y_n) = & a_n(y_n^\old) + \f{\d a_n}{\d y_n}|_{y_n^\old} (t_n - y_n^\old) \\
a_n(\w) = & a_n(\w^\old) + \f{\d a_n}{\d y_n}|_{\w^\old} (t_n - y_n) \\
= & \bphi_n^\T \w^\old - \f{(y_n - t_n)}{y_n (1 - y_n)} = z_n
\end{align*}
<p>
ただし<br />
</p>
\begin{align*}
a_n = & \w^\T \bphi_n \\
y_n = & \sigma(\w^\T \bphi_n) \\
y_n^\old = & \sigma({\w^\old}^\T \bphi_n)
\end{align*}
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-1-5" >
<h3>4.3.4 多クラスロジスティック回帰</h3>
<p>
事後確率<br />
</p>
\begin{align*}
p(C_k|\bphi) = y_k(\bphi) = \f{\exp(a_k)}{\sum_j \exp(a_j)}
\end{align*}
\begin{align*}
a_k = \w^\T \bphi
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-5-1" >
<h4></h4>
<p>
ソフトマックス活性化関数の微分<br />
</p>
\begin{align*}
\p{y_k}{a_j} = & \p{}{a_j} \f{\exp(a_k)}{\sum_i \exp(a_i)} \\
= & \p{\exp(a_k)}{a_j} \f{1}{\sum_i \exp(a_i)}
+ \exp(a_k) \p{}{a_j} \f{1}{\sum_i \exp(a_i)} \\
= & \f{I_{kj} \exp(a_k)}{\sum_i \exp(a_i)}
- \exp(a_k) \f{\exp(a_j)}{\{\sum_i \exp(a_i)\}^2} \\
= & \f{\exp(a_k)}{\sum_i \exp(a_i)}
\l( I_{kj} - \f{\exp(a_j)}{\sum_i \exp(a_i)} \r) \\
= & y_k (I_{kj} - y_j)
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-5-2" >
<h4></h4>
<p>
尤度関数<br />
</p>
\begin{align*}
p(\TT|\w_1,...,\w_K) = & \prod_{n=1}^N \prod_{k=1}^K p(C_k|\bphi_n)^{t_{nk}} \\
= & \prod_{n=1}^N \prod_{k=1}^K y_{nk}^{t_{nk}}
\end{align*}
<p>
尤度関数の負の対数をとって誤差関数を定義する。<br />
これを、多クラス分類問題に対する交差エントロピー誤差関数という。<br />
</p>
\begin{align*}
E(\w_1,...,\w_K) = & - \ln p(\TT|\w_1,...,\w_K) \\
= & - \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^K t_{nk} \ln y_{nk}
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-5-3" >
<h4></h4>
<p>
\(\w_j\)に対する誤差関数の勾配をとる。<br />
</p>
\begin{align*}
\nabla_{\w_j} E(\w_1,...,\w_K)
= & - \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^K t_{nk} \nabla_{\w_j} \ln y_{nk} \\
% = & - \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^K t_{nk} \f{1}{y_{nk}} \nabla_{\w_j} y_{nk} \\
= & - \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^K t_{nk} \f{1}{y_{nk}} y_{nk} (I_{kj} - y_{nj}) \bphi_n \\
= & - \sum_{n=1}^N \sum_{k=1}^K t_{nk} (I_{kj} - y_{nj}) \bphi_n \\
% = & - \sum_{n=1}^N \l( \sum_{k=1}^K t_{nk} I_{kj} - y_{nj} \r) \bphi_n \\
% = & - \sum_{n=1}^N (t_{nj} - y_{nj}) \bphi_n \\
= & \sum_{n=1}^N (y_{nj} - t_{nj}) \bphi_n \\
\end{align*}
<ul class="org-ul">
<li>データ\(n\)の勾配への寄与は、<br />
誤差\((y_n - t_n)\)と特徴ベクトル\(\bphi_n\)の積で与えられる。<br />
</li>
</ul>
</section>
<section id="sec-1-5-4" >
<h4>ニュートン-ラフソン法</h4>
<p>
ヘッセ行列<br />
</p>
\begin{align*}
\nabla_{\w_k} \nabla_{\w_j} E(\w_1,...,\w_K)
= \sum_{n=1}^N y_{nk} (I_{kj} - y_{nj}) \bphi_n \bphi_n^\T
\end{align*}
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-1-6" >
<h3>4.3.5 プロビット回帰</h3>
<p>
雑音しきい値モデル<br />
</p>
\begin{align*}
t_n = & 1 \quad a_n \lt \theta \text{のとき} \\
t_n = & 0 \quad \text{それ以外} \\
\end{align*}
<p>
しきい値\(\theta\)は\(p(\theta)\)に従って確率的に分布する。<br />
</p>
</section>
<section id="sec-1-6-1" >
<h4>誤ったラベル付けの影響を組み込んだモデル</h4>
\begin{align*}
p(t|\x) = & (1 - \epsilon) \sigma(\x) + \epsilon (1 - \sigma(\x)) \\
= & \epsilon + (1 - 2 \epsilon) \sigma(\x)
\end{align*}
<ul class="org-ul">
<li>\(\sigma(\x)\) : 誤ったラベル付けの影響を組み込んでいない一般化線形モデル。<br />
</li>
<li>\(\epsilon\) : 正しくは1なのに誤って0とラベル付けされる確率。<br />
</li>
</ul>
</section>
</section>
<section>
<section id="sec-1-7" >
<h3>4.3.6 正準連結関数</h3>
</section>
<section id="sec-1-7-1" >
<h4></h4>
<p>
目的変数の条件付き確率密度が指数型分布族であるとき、<br />
目的変数の条件付き期待値を一般化線形モデルでモデル化し、<br />
その活性化関数として正準連結関数を選べば、<br />
誤差関数のモデルパラメータに関する微分は<br />
誤差と特徴ベクトルの積になる。<br />
</p>
<p>
ここで、正準連結関数とは、<br />
目的変数の条件付き確率密度のパラメータと<br />
目的変数の条件付き期待値との関係を表す関数である。<br />
</p>
</section>
<section id="sec-1-7-2" >
<h4></h4>
\begin{align*}
p(t|\eta,s) = \f{1}{s} h\l(\f{t}{s}\r) g(\eta) \exp\l\{\f{\eta t}{s}\r\}
\end{align*}
<p>
\(\eta\)が与えられたときの\(t\)の条件付き期待値\(\E[t|\eta]\)を\(y\)と定義する。<br />
</p>
\begin{align*}
y ≡ \E[t|\eta] = \int_{-\infty}^\infty t p(t|\eta) \d t \\
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-7-3" >
<h4></h4>
\begin{align*}
% \int p(t|\eta) \d t = & 1 \\
\f{1}{s} g(\eta) \int h\l(\f{t}{s}\r) \exp\l\{\f{\eta t}{s}\r\} \d t = & 1 \\
\f{1}{s} \f{d}{d\eta} \l[ g(\eta) \int h\l(\f{t}{s}\r) \exp\l\{\f{\eta t}{s}\r\} \d t \r] = & 0 \\
\end{align*}
\begin{align*}
% \f{1}{s} \f{dg(\eta)}{d\eta} \int h\l(\f{t}{s}\r) \exp\l\{\f{\eta t}{s}\r\} \d t
% + \f{1}{s} g(\eta) \int h\l(\f{t}{s}\r) \f{d}{d\eta} \exp\l\{\f{\eta t}{s}\r\} \d t = & 0 \\
\f{1}{s} \f{dg(\eta)}{d\eta} \int h\l(\f{t}{s}\r) \exp\l\{\f{\eta t}{s}\r\} \d t
+ \f{1}{s} g(\eta) \int h\l(\f{t}{s}\r) \f{t}{s} \exp\l\{\f{\eta t}{s}\r\} \d t = & 0 \\
\end{align*}
\begin{align*}
\f{1}{g(\eta)} \f{dg(\eta)}{d\eta} + \f{1}{s} \E[t|\eta] = & 0 \\
\end{align*}
\begin{align*}
\E[t|\eta] = & - s \f{1}{g(\eta)} \f{dg(\eta)}{d\eta} \\
= & - s \f{d}{d\eta} \ln g(\eta)
\end{align*}
<p>
\(y ≡ \E[t|\eta]\)と定義すると、\(y\)と\(\eta\)には関係がある。<br />
その関係を\(\eta = \psi(y)\)とする。<br />
</p>
</section>
<section id="sec-1-7-4" >
<h4></h4>
<p>
対数尤度関数<br />
</p>
\begin{align*}
\ln p(\tt|\eta,s)
= & \sum_{n=1}^N \ln p(t_n|\eta_n,s) \\
= & \sum_{n=1}^N \l\{ \ln g(\eta_n) + \f{\eta_n t_n}{s} \r\} + \text{定数} \\
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-7-5" >
<h4></h4>
<p>
\(\w\)で微分する。<br />
</p>
\begin{align*}
\nabla \ln p(\tt|\eta,s)
= & \sum_{n=1}^N \nabla \l\{ \ln g(\eta_n) + \f{\eta_n t_n}{s} \r\} \\
= & \sum_{n=1}^N \f{\d}{\d \eta_n} \l\{ \ln g(\eta_n) + \f{\eta_n t_n}{s} \r\}
\f{\d \eta_n}{\d y_n} \f{\d y_n}{\d a_n} \nabla a_n \\
= & \sum_{n=1}^N \l\{ \f{\d}{\d \eta_n} \ln g(\eta_n) + \f{t_n}{s} \r\}
\psi'(y_n) f'(a_n) \bphi_n \\
= & \sum_{n=1}^N \f{1}{s} \{ t_n - y_n \} \psi'(y_n) f'(a_n) \bphi_n \\
\end{align*}
</section>
<section id="sec-1-7-6" >
<h4></h4>
<p>
連結関数として<br />
</p>
\begin{align*}
f^{-1}(y) = \psi(y)
\end{align*}
<p>
を選べば<br />
</p>
\begin{align*}
f(\psi(y)) = & y \\
\p{}{y} f(\psi(y)) = & 1 \\
\p{f(\psi)}{\psi} \p{\psi(y)}{y} = & 1 \\
f'(\psi) \psi'(y) = & 1 \\
\end{align*}
\begin{align*}
\nabla E(\w) = - \nabla \ln p(\tt|\eta,s) = \f{1}{s} \sum_{n=1}^N \{ t_n - y_n \} \bphi_n \\
\end{align*}
<p>
誤差関数の勾配は各データの誤差と特徴ベクトルの積になる。<br />
</p>
</section>
</section>
</div>
</div>
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