lection6a.tex

\documentclass[9pt, compress, xcolor=table]{beamer}


\usetheme{m}

\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[scale=2]{ccicons}
\usepackage{minted}
% \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage[T2A]{fontenc}
% \usepackage[english, russian]{babel}
%%% For accessing system, OTF and TTF fonts
%%% (would have been loaded by polylossia anyway)
\usepackage{fontspec}
%%% For language switching -- like babel, but for xelatex
\usepackage{polyglossia}
\setmainfont{PT Sans} % вообще шрифты определяются в теме бимера
\setmainlanguage{russian}
\setotherlanguages{english} %% or other languages

\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{tabu} % https://ru.sharelatex.com/learn/Tables
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.jpg,.png}
\graphicspath{{../images/}{./images/}}

\colorlet{Mycolor1}{green!50!blue!50!}
\DeclareMathOperator{\Ima}{Im}
\usemintedstyle{trac}

\title{Физические принципы микроскопии сверхвысокого разрешения}
\subtitle{осенний семестр, 2015}
\author{ассистент, к.ф.-м.н. Шутова О.А.}
\institute{МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет}

\begin{document}

\maketitle

\plain{}{Лекция 6. Свойства оптических антенн}

\begin{frame}{Идея лекции}


Дальнейшее развитие ближнепольной микроскопии связано с таким фундаментальным понятием теории электромагнетизма как \textcolor{red!50!black}{антенна}. 

\textcolor{red!50!black}{Антенна} - это такое устройство, которое может \textcolor{red!50!black}{эффективно} преобразовывать э.м. энергию в распространяющееся э.м. излучение и наоборот. Изначально это понятие возникло в области длинных волн (радиодиапазон).

Переход в оптический диапазон, во многом столь же исторически значимый, как переход от мазеров к лазерам, не может быть связан с простым переносом понятий из области радиоантенн в область оптических антенн по причине того, что \textbf{поведение металлов в области длинных волн и коротких носит существенно разный характер}.

\centering
\includegraphics[width=0.35\textwidth]{optant1}
\end{frame}

\begin{frame}{Различие поведения металлов в радиодиапазоне и в оптике}
\begin{itemize}
\item В РД частота находится далеко от резонансной частоты плазменных колебаний электронов. Это означает, что отклик (восприимчивость и вытекающие из нее величины) почти стационарны и не зависят от частоты. В оптике зависимость от частоты носит ярко выраженный резонансный характер (причем, это как внутренние резонансы, связанные с возбуждением к.м. состояний, так и внешние, связанные с возбуждением, например, поверхностных плазмонов).
\item Скин-эффект в РД носит нормальный характер, т.к. длина свободного пробега электронов мала по сравнению с длиной волны: при частоте $\omega = 10$ МГц, толщина скин-слоя для меди $\Delta = 21$ мкм, т.е. \textcolor{red!50!black}{ $\Delta/\lambda \approx 10^{-6}$}. Металл отражает радиоволны почти полностью!

\item В оптике скин-эффект носит аномальный характер. Здесь  необходимо выделить три фактора. Для описания скин-эффекта возникает необходимость учитывать еще одну величину $L_T=V_F/\omega$, т.е. расстояние, которое проходит электрон за один период поля.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Три характерные длины}

1) Когда созданы условия для возбуждения плазмонов. Поперечный размер $SPP$ это $L_z=1/\Ima k_z$, где 
\begin{equation*}
k_z^2=\left(\frac{\omega}{c}\right)\frac{\epsilon_m^2}{\epsilon_m^2+\epsilon_d^2}
\end{equation*} 
Для золота $\lambda = 600$ нм, толщина $SPP$ $d_{SPP}=24$ нм, т.е. \textcolor{red!50!black}{$d_{SPP}/\lambda \approx 10^{-2}$}

2) $\lambda \approx \Delta$ (нижняя часть оптического спектра, ближе к ИК) имеет место аномальный скин-эффект (И.Н. Топтыгин "Современная электродинамика")
\begin{equation*}
\Delta \approx \left(\frac{c^2 p_F^2}{\omega N e^2}\right)^{1/3}
\end{equation*}

3) $L_T <<\delta$ (высокая часть оптического спектра, ближе к УФ) мы как бы возвращаемся в область нормального скин-эффекта, но роль $\lambda$ играет $L_T$
\begin{equation*}
\Delta \approx c \hbar/ \epsilon_F
\end{equation*}
для золота $\epsilon_F=5.53 eV$ имеем $\textcolor{red!50!black}{\Delta \approx 300\quad \text{нм, т.е.}\quad \Delta/\lambda\approx 1!}$


\end{frame}


\begin{frame}{Различие поведения металлов в радиодиапазоне и в оптике}
\begin{itemize}
\item В РД доминируют явления проводимости (разница составляет 4 порядка), а сами  метеллы в РД являются гораздо лучшими проводниками, чем в ОД.

\item В ОД вместе с явлениями проводимости начинают играть роль эффекты поляризации. Т.е. когда мы воздействуем на металл с очень высокой частотой, колебания электронного газа начинают отставать от вынуждающей силы, проявляя инерционность.

\item Предыдущее означает, что наряду с током проводимости значимую роль начинает играть ток смещения. С точки зрения радиоустройств это означает, что в РД диапазоне антенна имеет согласованную нагрузку со свободным пространством и может иметь длину кратную длине волны в свободном пространстве, а ОД - нет, т.о. мы не можем просто взять размер кратный длине волны.

\item В приницпе в ОД антенны могут быть диэлектрическими, что невозможно представить себе в РД!

\item И наконец, last but not least, в оптике возрастает поглощение, т.е. потери.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Литература}

Наиболее значимые работы по оптическим антеннам:

\begin{enumerate}

\item Ю.С. Кившарь и др. \textbf{Оптические наноантенны}, Успехи физических наук, т.183, 2013.

\item L. Novotny et al. \textbf{Optical antennas}, Advances in Optics and Photonics, 2009.

\item M. B. Raschke \textbf{Antenna-load interactions at optical frequencies: impedance matching to quantum systems}, Nanotechnology, 2012.

\item N. Engheta et al. \textbf{Theory, Modelling and Features of Optical Nanoantennas}, IEEE, 2013.

\item D. W. Pohl et al. \textbf{Resonant optical Antennas}, Science, 2005.

\item Q. Park \textbf{Optical antennas and plasmonics}, Contemporary Physics, 2009.
\end{enumerate}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{optant2}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Масштабы величин}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{optant50}

Таким образом, следует признать, что механизм сгущения поля и его динамики во взаимодействии с окружающими объектами и средами в РД и ОД разные. Но эффективность в ОД не ниже, чем в РД, а порой даже выше. Чувствительность выше однозначно. 
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Две схемы}
\begin{columns}[c]
\column{6.3cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{optant51}
\end{center}

{\small \textcolor{red!50!black}{Согласованная нагрузка (impedance matching):} если есть два двухполюсника, активный и пассивный, то наиболее эффективно активный двухполюсник будет передавать мощность пассивному (нагрузке, load) при равенстве импедансов. Простая механическая аналогия: если наливать воду через воронку в сосуд, то необходимо учиывать скорость прохождения воды через воронку, в противном случае часть воды выплеснется.}


\column{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{optant52}
\end{center}

{\small В РД мы могли описать этот процесс посредством свойств активного и реактивного сопротивления. Хотя даже в случае идеального согласования лишь половина мощности оказывается в нагрузке, остальная диссипирует.}
\end{columns}
 
 В ОД мы вынуждены учитывать квантовую природу поглощения и испускания света. Для описания нам необходимо вводить локальную плотность электронных состояний (LDOS).
\end{frame}

\begin{frame}{Радиоантенна}
\begin{columns}[c]
\column{6.3cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{optant53}
\end{center}
\column{6.3cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{optant54}
\end{center}
\end{columns}

{\small На основной волне и всех \textcolor{red!50!black}{нечетных гармониках} точки питания располагаются в пучности тока, и в антенне имеет место резонанс напряжения. При этом ее входное сопротивление невелико и равно сопротивлению потерь в цепи антенны. На всех \textcolor{red!50!black}{четных гармониках} точки, к которым подводится питание, оказываются расположенными в узлах тока, и в антенне имеет место резонанс тока. При этом ее входное сопротивление достигает весьма значительной величины.

$\boxed{\text{Задача радиоантенны - доставить сигнал в дальнее поле с min искажениями.}}$}
\end{frame}

\begin{frame}{Металл в оптическом диапазоне}

\begin{columns}[c]
\column{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{optant56}
\end{center}
\textcolor{red!50!black}{Режимы:}

\textcolor{red!50!black}{I} - режим Хагена-Рубенса, РД, ($\sigma_1<<\sigma_2$) электроны движутся практически в фазе с падающим полем.

\textcolor{red!50!black}{II} - дальний ИК, переходный режим, нарастает релаксация $\gamma$, восп-ть $\epsilon(\omega) = 1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2+\imath \gamma}$

\column{6.2cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{optant57}
\end{center}

\textcolor{red!50!black}{III} - дальний - средний ИК, существенно возрастают омические потери, существенно фазовое запаздывание

\textcolor{red!50!black}{IV} - область прозрачности за плазменной частотой.

\end{columns}

$\boxed{\text{Задача оптической антенны - доставить инорфмацию о ближнем поле.}}$

\end{frame}

\begin{frame}{Размер оптической антенны}

Размер не буден кратен целому числу полуволн, как в РД.

\begin{equation*}
\boxed{\frac{m\lambda_{eff}}{2} = L(\lambda_{0})+2\psi(\lambda_0)}
\end{equation*}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{optant60}

\includegraphics[width=0.55\textwidth]{optant_7}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Импеданс оптической антенны}

Полная скорость релаксации двухуровневого квантового излучателя, находящегося в точке
$\vec r_0$,

\begin{equation*}
\Gamma=\frac{\pi \omega}{3\hbar \epsilon_0}\left|\langle g| \hat{\vec p}| e \rangle\right|^2\rho_{p}(\vec r_0, \omega)
\end{equation*}

Здесь $\rho_{\vec p}$~--- парциальная ЛПС. Переходя к полной ЛПС путем усреднения по
всем направлениям $\vec p$, получим
\begin{equation*}
\rho (\vec r_0, \omega) =\frac{2 \omega}{\pi c^2}\text{Im}\left\{\text{Tr}\left[\hat{\vec
G}(\vec  r_0,\vec r_0;\omega_0)\right]\right\},
\end{equation*}

Функция Грина задается форм-фактором антенны и ее излучательными свойствами. Для
свободного пространства без антенны, когда $\rho_{\vec p} = \omega^2/(\pi^2 c^3)$ для скорости релаксации получаем
\begin{equation*}
\Gamma_0=\omega^3\left|\langle g|\hat{\vec p}|e\rangle\right|^2/(3\pi^2
\epsilon_0 \hbar c^3)
\end{equation*}

Пользуясь теоремой Пойтинга $P = \frac{1}{2} \int_V Re(\vec j* \times \vec E)dV$ и
учитывая плотность тока в дипольном приближении $\vec j (\vec r) = - \imath \omega \vec p \delta(\vec r - \vec r_0)$,
\end{frame}

\begin{frame}{Импеданс оптической антенны}

Получим выражение для мощности, рассеиваемого излучателем поля через ЛПС
\begin{equation*}
P =\frac{\pi \omega^2}{12 \epsilon_0}|\vec p|^2 \rho_{\vec p}^2(\vec r_0, \omega).
\end{equation*}

Вводя мощность рассеянного излучения в свободном пространстве как

\begin{equation*}
P_0 =\frac{\omega^4}{12 \pi \epsilon_0 c^3}|\vec p|^2
\end{equation*}

выразим ЛПС через нормированную мощность

\begin{equation*}
\rho_{\vec p}^2(\vec r_0, \omega) =\frac{\omega^2}{\pi^2 c^3}P/P_0
\end{equation*}

Итак, импеданс оптической антенны может быть определен как $Re(Z)=P/I^2$, где мы
вместо тока возьмем плотность тока $j \sim \imath \omega \vec p$
\begin{equation*}
\boxed{Re(Z) = \frac{\pi}{12 \epsilon_0}\rho_{\vec p}^2(\vec r_0, \omega)}
\end{equation*}
\end{frame}


\begin{frame}{Импеданс оптической антенны}

\textcolor{red!50!black}{Свойства полученных результатов:}

\begin{columns}
\column{6.5cm}
\begin{itemize}
\item В отличие от РД, где антенна инициируется поступающими к ней через линию передачи токами, фидером оптической наноантенны является квантовый излучатель, находящийся в неоднородном окружении;
\item ЛПС определяют, по сути, импеданс нашей оптической антенны;
\item Мнимая часть импеданса даст нам энергию, сосредоточенную в ближнем поле.
\end{itemize}
\column{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{optant63}
\end{center}

\begin{itemize}
\item  Импеданс антенны зависит как от расположения источника (или передатчика),
    так и от ориентации его дипольного момента;
\end{itemize}

\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}{Пример: антенна-наночастица}

Рассмотрим в качестве антенны сферическую наночастицу

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{optant_5}
\end{center}

 Поляризуемость сферической частицы

\begin{equation*}
\alpha=4 \pi \epsilon_0 a^3 \frac{\epsilon(\omega)-1}{\epsilon(\omega)+2}
\end{equation*}

при $\epsilon(\omega)=-2$ имеем хорошо известное условие плазмонного резонанса на
сфере

\end{frame}


\begin{frame}{Пример: антенна-наночастица}
Поле может быть получено из тензорной функции Грина
\begin{equation*}
\vec E = \left[\overleftrightarrow I + \frac{k^2}{\epsilon_0}\alpha(\omega)
\overleftrightarrow G(\vec r_0, \vec r_0,\omega)\right] = \left[1+ 2 \overleftrightarrow\alpha(\omega)
\frac{a^3}{(a+z)^3}\right]\vec E_0
\end{equation*}
ЛПС:
\begin{equation*} 
\rho_z(z)= \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3}\left[\left|1+2
\frac{\epsilon(\omega)-1}{\epsilon(\omega)+2}\frac{a^3}{(a+z)^3}\right|^2+ \frac{3}{4} \Ima\frac{\epsilon(\omega)-1}{\epsilon(\omega)+1}\frac{1}{(kz)^3}\right]
\end{equation*}

чем меньше собственный квантовый выход молекулы $\eta_i$, тем большее усиление может
быть получено
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{optant_6}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Эффективный контур}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{optant71}
\end{center}

\begin{columns}
\column{6cm}
\begin{center}
{\scriptsize Слева: нагрузка;
Справа: активный элемент (квантовый излучатель)}

Мощность, рассеиваемая нагрузкой
\begin{equation*}
p=\frac{1}{2}Re(IU^*) = \frac{1}{2}Re(Z_L)|I|^2
\end{equation*}
\begin{equation*}
Z_{in}=\frac{\imath}{\omega \overleftrightarrow \alpha \epsilon_0}
\end{equation*}

\end{center}
\column{6cm}
\begin{center}

Устанавливаем соответствия:
\begin{equation*}
I \leftrightarrow -\imath \omega \vec p(\vec r)
\end{equation*}
\begin{equation*}
Z \leftrightarrow -\imath \frac{\overleftrightarrow G(\vec r_0, \vec r_0,\omega)}{\omega}
\end{equation*}
\begin{equation*}
U=-\vec E_z(\vec r_0)
\end{equation*}
\end{center}
\end{columns}
\end{frame}

\plain{}{Пример наноантенны, работающей в ИК диапазоне}

\begin{frame}{Схема эксперимента}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{optant72}
\end{center}

Золотые стерженьки размером $(1,550*230*60)$ нм на кремниевой подложке. Длина волны $9.6$ мкм (антенна значительно короче, чем $\lambda/2$) 

\end{frame}

\begin{frame}{Результаты эксперимента и моделлирования}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{optant73}

\includegraphics[width=0.8\textwidth]{optant74}
\end{center}
\begin{columns}
\column{6cm}
\textcolor{red!50!black}{крайний слева}: целый стерженек

\textcolor{red!50!black}{крайний справа}: стерженек с зазором 80 нм посередине

\column{6cm}

\textcolor{red!50!black}{второй слева}: более толстый мостик ($10 \%$ от площади сечения)

\textcolor{red!50!black}{второй справа}: более тонкий мостик ($2 \%$ от площади сечения)
\end{columns}


\end{frame}
\begin{frame}{Динамика ближнего поля}

\begin{center}

\includegraphics[width=\textwidth]{optant75}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Импеданс}
\begin{columns}[c]
\column{6.5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{optant76}
\end{center}
\column{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{optant77}
\end{center}
\end{columns}

\begin{center}
\begin{equation*}
Z_{bridge}=\frac{\imath g}{\omega \epsilon_{Au}\pi (b/2)^2}\qquad Z_{gap}=\frac{\imath g}{\omega \epsilon_{eff}\pi ((d/2)^2-(b/2)^2)}
\end{equation*}

\begin{equation*}
Z_{load}=R_{load}-\imath X_{load}
\end{equation*}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Еще один способ изменения нагрузки}

это изменять восприимчивость вещества в зазоре антенны 
 
\begin{columns}[c]
\column{7cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=1\textwidth]{optant78}
\end{center}
\column{5.5cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{optant79}
\end{center}
\end{columns}

A.Alu, N.Engheta. Nature Photonics. VOL 2. 2008 
Tuning the scattering response of optical
nanoantennas with nanocircuit loads

\end{frame}

\end{document}

\begin{frame}{}
\begin{columns}[c]
\column{6.5cm}
\column{6cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{}
\end{center}
\end{columns}
\end{frame}