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Math

希腊字母

大写 小写 英文注音 国际音标注音 中文注音
Α α alpha alfa 阿耳法
Β β beta beta 贝塔
Γ γ gamma gamma 伽马
Δ δ deta delta 德耳塔
Ε ε epsilon epsilon 艾普西隆
Ζ ζ zeta zeta 截塔
Η η eta eta 艾塔
Θ θ theta θita 西塔
Ι ι iota iota 约塔
Κ κ kappa kappa 卡帕
∧ λ lambda lambda 兰姆达
Μ μ mu miu 缪
Ν ν nu niu 纽
Ξ ξ xi ksi 可塞
Ο ο omicron omikron 奥密可戎
∏ π pi pai 派
Ρ ρ rho rou 柔
∑ σ sigma sigma 西格马
Τ τ tau tau 套
Υ υ upsilon jupsilon 衣普西隆
Φ φ phi fai 斐
Χ χ chi khai 喜
Ψ ψ psi psai 普西
Ω ω omega omiga 欧米

基础概念

  • 自然数。从0开始算

  • 质数。只能被1和他本事整除的正整数（即只有1和他本事两个约数）叫质数，反之为合数，1既不是质数也不是合数。

    质数:2,3,5,7,11,13,17,19
    合数：4，6，8，10 2是唯一一个即使质数也是偶数的正整数，即是唯一是偶质数，大于2的质数必定是奇数
    若正整数a,b的乘积是质数p，则a = p,b = 1或 b = p, a = 1
    若两个质数的和或差是奇数，那么其中一个质数必然是2。因为只有偶±奇才能等于奇数
    若两个质数的乘积是偶数，那么其中一个质数必然是2。因为只有奇乘偶才能是偶数

  • 互质数。公约数只有1的两个数叫互质数。如：9的约数{1,3,9},16的约数{1,2,4,8,16} 它们的公约数1，所以它们是互质数。

  • 最小公倍数

方程

一元二次

  • 直接开平方法

    若 $x^2=a(a \geq 0)$ ，则 $x=\pm \sqrt{a}$

  • 配方法

    但二次项系数为1的时，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
    构成一个完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²
    平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

    解方程：$x^2 + 3x = 0$
    $x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2$
    $(x+\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
    $x+\frac{3}{2} = \pm \frac{3}{2}$
    $x = -\frac{6}{2} = -3$ 或 x = 0

  • 因式分解法

    若(x-a)(x-b)=0，则x-a=0或x-b=0

  • 公式法

    方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0, 判别式：b^2-4ac\geq0)$,则解是$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  • 根与系数的关系

    若$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的两个跟为$x_1,x_2$
    则$x_1+x_2=- \frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$

集合

  • 集合元素的性质：确定性、无序性、互异性
  • 元素与集合的关系
    • 属于 $\in$ , 不属于 $\notin$
      元素a在集合A里面：a $\in$ A
      元素a不再集合A里面: a $\notin$ A
  • 常见数集符合
    • $N$ 自然数集 0,1,2,3……
    • $N^*$ 或 $N_+$ 正整数集 1,2,3……
    • $Z$ 整数集，包含正整数，负整数，零
    • $Q$ 有理数集，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称
    • $R$ 实数集，实数是有理数和无理数的总称
  • 集合之间的关系
    • A=B，相等。集合A和集合B中说有元素都相同
    • A$\subseteq$B，子集。B大，其实也有可能相等
    • A$\subseteq$B，真子集，符号有错误，下面是一个不等于号$\neq$。也是B大，而且不可能相等。
    • $\emptyset$，空集。空集是任何集合在子集，是任何非空集的真子集
    • A$\cup$B，并集。取两个集合的所有元素
    • A$\cap$B，交集。取两个集合相等的部分
    • $\complement_UA$，补集。A集合在全集U中，取U中除A集合剩下的部分
  • 必然结论
    • A$\cup$B = A 可推理出 A$\supseteq$B
    • A$\cap$B = A 可退理出 B$\supseteq$A
    • A$\cap$A = A
    • $A\cap \emptyset = \emptyset$
    • $A\cap\complement_UA = \emptyset$
    • $A\cup\complement_UA = U$
    • $\complement_U(\complement_UA) = A$
    • $A\subseteq B$ 可推理出 $A\cap B = A$ 可推理出 $A\cup B = B$ 可推理出 $\complement_UB \subseteq \complement_UA$ 可推理出 $A \cap (\complement_UB) = \emptyset$
    • 集合A中有n个元素，那么他的子集个数为$2^n$，真子集个数为$2^n-1$，非空真子集个数为$2^n-2$

    例：集合A = {1,2,3}
    子集有：空集、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3} 共8个 = $2^3$
    真子集去掉{1,2,3} 共7个
    非空真子集去掉{1,2,3}和空集，共6个

函数

函数三要素：定义域，对应关系，值域。

函数：$y=f(x),x \in A$

  • 定义域：自变量x取值范围构成的集合
  • 值域：函数值的集合 {$f(x), x\in A$}

方差

方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数。

$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1-x)^2 + (x_2-x)^2 + ... + (x_n-x)^2]$

$S^2 = \frac{\sum^n_{i=1}(x_i - x)^2}{n}$

其中，x表示样本的平均数，n表示样本的数量，$x_i$表示个体，而$S^2$就表示方差。

两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50，平均值E(X)=72；Y：73， 70，75，72，70 平均值E(Y)=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
方差越小越稳定

标准差

$δ=\sqrt(\frac{(x_1-x)^2 +(x_2-x)^2 +......(x_n-x)^2)}{n})$

方差=标准差的平方

数据标准化 Normalization Method

机器学习算法中要求样本间的距离就要使用数据归一化，把数据映射到同一尺度。
数据归一化是为了解决量纲的问题，使数据映射到同一尺度。举2个例子：比如两个特征为月收入和和身高。月收入范围5000元-30000元，身高为1m-2.5m，在计算两个特征的欧式距离时，由于取值范围身高这一特征被忽略了，这样就让身高这一特征的信息失效了。所以要使用数据归一化把数据映射到同一尺度

  • 标准归一化 Z-score标准化

    $x∗ = \frac{x−μ}{δ}$

    其中 μ为所有样本数据的均值（mean）， δ为所有样本数据的标准差（standard deviation）。

  • 最大最小归一化

    也称为离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果值映射到 [0 - 1] 之间。

    $x∗=\frac{x − x_{min}}{x_{max} − x_{min}}$

    其中 $x_{max}$为样本数据的最大值， $x_{min}$为样本数据的最小值。这种方法有个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致 $x_{max}$和 $x_{min}$的变化，需要重新定义。