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Equazione Differenziale

EDO: Equazione Differenziale Ordinaria ODE: Ordinary Differential Equation

Equazione che coinvolge una funzione di una variabile e le sue derivate di ordine qualsiasi. Nel caso di una EDO del primo ordine in forma normale basta semplicemente risolvere un integrale, anche se "risolvere una EDO' non significa calcolare un integrale, ma trovare y conoscendo delle informazioni su y".

EDO del primo ordine

Edo a Variabili Separabili

$$y'(x) = g(x)*y(x)$$

Soluzione nulla c'é sempre per le EDO a variabili separabili. Controllare anche la soluzione costante. Se esiste una g(D) = 0 allora y(x) = D é soluzione !

Edo Lineari

$$y'(x) + a(x)y(x) = b(x) $$

la cui soluzione:

$$y(x) = e^{-A(x)}(\int b(x)*e^{A(x) } dx + c)$$

Edo Non Lineari

$$y'(x) = \frac {P(x,y(x))}{Q(x,y(x)}$$

le risolvi usando questa sostituzione:

$$z(x) = \frac{y(x)}{x}$$

Edo di Bernulli

$$y'(x) = a(x)y(x) + b(x)y(x)^{\alpha}$$

le risolvi usando questa sostituzione:

$$z(x) = \frac{1}{y(x)^{\alpha - 1}}$$

Edo del secondo ordine lineari

Affrontiamo solo le EDO del secondo ordine a coefficienti costanti. Omogenee:

$$ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0$$

Il cui polinomio caratteristico:

• $\Delta > 0$ $$y(x) = c_1e^{\lambda _1 x} + c_2 e^{\lambda _2 x}$$
• $\Delta = 0$ $$y(x) = e^{ \lambda x}(c_1 + c_2 x)$$
• $\Delta < 0$ $$y(x) = e^{ \alpha x} (c_1 cos ( \beta x) + c_2 sin ( \beta x))$$

con autovalori, nel caso di autovalori complessi, nella forma:

$$\alpha \pm \beta i$$

Soluzioni particolari - Metodo di Somiglianza

Soluzione particolare di forma esponenziale:

$$f(x) = Ae^{\alpha x }$$