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给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1： 输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。
示例 2： 输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3] 输出：7 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示：
- 0 <= k <= 100
- 0 <= prices.length <= 1000
- 0 <= prices[i] <= 1000
这道题目可以说是动态规划：123.买卖股票的最佳时机III的进阶版，这里要求至多有k次交易。
动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
在动态规划：123.买卖股票的最佳时机III中，我是定义了一个二维dp数组，本题其实依然可以用一个二维dp数组。
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- .....
大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。
所以二维dp数组的C++定义为：
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));- 确定递推公式
还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可以类比剩下的状态，代码如下：
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}本题和动态规划：123.买卖股票的最佳时机III最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。
- dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
代码如下：
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = -prices[0];
}在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。
- 确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
- 举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
if (prices.size() == 0) return 0;
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = -prices[0];
}
for (int i = 1;i < prices.size(); i++) {
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[prices.size() - 1][2 * k];
}
};当然有的解法是定义一个三维数组dp[i][j][k]，第i天，第j次买卖，k表示买还是卖的状态，从定义上来讲是比较直观。
但感觉三维数组操作起来有些麻烦，我是直接用二维数组来模拟三维数组的情况，代码看起来也清爽一些。
Java:
// 版本一: 三维 dp数组
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices.length == 0) return 0;
// [天数][交易次数][是否持有股票]
int len = prices.length;
int[][][] dp = new int[len][k + 1][2];
// dp数组初始化
// 初始化所有的交易次数是为确保 最后结果是最多 k 次买卖的最大利润
for (int i = 0; i <= k; i++) {
dp[0][i][1] = -prices[0];
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 1; j <= k; j++) {
// dp方程, 0表示不持有/卖出, 1表示持有/买入
dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][k][0];
}
}
// 版本二: 二维 dp数组
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices.length == 0) return 0;
// [天数][股票状态]
// 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
int len = prices.length;
int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
// dp数组的初始化, 与版本一同理
for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
dp[0][i] = -prices[0];
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][k*2];
}
}
//版本三：一维 dp数组
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if(prices.length == 0){
return 0;
}
if(k == 0){
return 0;
}
// 其实就是123题的扩展，123题只用记录2次交易的状态
// 这里记录k次交易的状态就行了
// 每次交易都有买入，卖出两个状态，所以要乘 2
int[] dp = new int[2 * k];
// 按123题解题格式那样，做一个初始化
for(int i = 0; i < dp.length / 2; i++){
dp[i * 2] = -prices[0];
}
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
// 还是与123题一样，与123题对照来看
// 就很容易啦
for(int j = 2; j < dp.length; j += 2){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] - prices[i-1]);
dp[j + 1] = Math.max(dp[j + 1], dp[j] + prices[i - 1]);
}
}
// 返回最后一次交易卖出状态的结果就行了
return dp[dp.length - 1];
}
}Python:
版本一
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0:
return 0
dp = [[0] * (2*k+1) for _ in range(len(prices))]
for j in range(1, 2*k, 2):
dp[0][j] = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
for j in range(0, 2*k-1, 2):
dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i])
dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i])
return dp[-1][2*k]版本二
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0: return 0
dp = [0] * (2*k + 1)
for i in range(1,2*k,2):
dp[i] = -prices[0]
for i in range(1,len(prices)):
for j in range(1,2*k + 1):
if j % 2:
dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]-prices[i])
else:
dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]+prices[i])
return dp[2*k]Go:
版本一：
// 买卖股票的最佳时机IV 动态规划
// 时间复杂度O(kn) 空间复杂度O(kn)
func maxProfit(k int, prices []int) int {
if k == 0 || len(prices) == 0 {
return 0
}
dp := make([][]int, len(prices))
status := make([]int, (2 * k + 1) * len(prices))
for i := range dp {
dp[i] = status[:2 * k + 1]
status = status[2 * k + 1:]
}
for j := 1; j < 2 * k; j += 2 {
dp[0][j] = -prices[0]
}
for i := 1; i < len(prices); i++ {
for j := 0; j < 2 * k; j += 2 {
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i])
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i])
}
}
return dp[len(prices) - 1][2 * k]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}Javascript:
// 方法一：动态规划
const maxProfit = (k,prices) => {
if (prices == null || prices.length < 2 || k == 0) {
return 0;
}
let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(2*k+1).fill(0));
for (let j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = 0 - prices[0];
}
for(let i = 1; i < prices.length; i++) {
for (let j = 0; j < 2 * k; j += 2) {
dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);
dp[i][j+2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);
}
}
return dp[prices.length - 1][2 * k];
};
// 方法二：动态规划+空间优化
var maxProfit = function(k, prices) {
let n = prices.length;
let dp = new Array(2*k+1).fill(0);
// dp 买入状态初始化
for (let i = 1; i <= 2*k; i += 2) {
dp[i] = - prices[0];
}
for (let i = 1; i < n; i++) {
for (let j = 1; j < 2*k+1; j++) {
// j 为奇数：买入状态
if (j % 2) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-1] - prices[i]);
} else {
// j为偶数：卖出状态
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-1] + prices[i]);
}
}
}
return dp[2*k];
};TypeScript：
function maxProfit(k: number, prices: number[]): number {
const length: number = prices.length;
if (length === 0) return 0;
const dp: number[][] = new Array(length).fill(0)
.map(_ => new Array(k * 2 + 1).fill(0));
for (let i = 1; i <= k; i++) {
dp[0][i * 2 - 1] = -prices[0];
}
for (let i = 1; i < length; i++) {
for (let j = 1; j < 2 * k + 1; j++) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] + Math.pow(-1, j) * prices[i]);
}
}
return dp[length - 1][2 * k];
};
