2010-10-05.txt

Viršutinė ir apatinė ribos
Ap. viršutinė \lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{\delta \to 0}{sup \{ f(x) : x \in B(a, \delta)_{x \neq a} \cap A \}
Ap. apatinė \lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{\delta \to 0}{inf \{ f(x) : x \in B(a, \delta)_{x \neq a} \cap A \}
T. \exists \lim_{x \to a}{f(x)} \iff apatinė \lim_{x \to a}{f(x)} = viršutinė \lim_{x \to a}{f(x)}
Pvz. f(x) = \frac{\sqrt{x^2} + 2x}{\sin x} = \frac{|x| + 2x}{\sin x}, x = 0
viršutinė \lim_{x \to 0}{f(x)} = ?
       / \frac{3x}{\sin x}, x \geq 0
f(x) = |                             = \lim_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1
       \ \frac{x}{sin x}, x < 0
|\sin x| \leq |x|
|x||1 - |x|| \leq |\sin x|
\sin(-x) = - \sin x
x > 0:
\frac{3x}{x} \leq \frac{3x}{\sin x} \leq \frac{3x}{x(1 - |x|)} = \frac{3x}{x(1 - x)}
x < 0:
1 = \frac{|x|}{|x|} \leq |\frac{x}{\sin x}| \leq \frac{|x|}{1 - |x|}

h(x) = \frac{x}{1 - x}
Ar h(x) didėja?
x_1 < x_2
h(x_1) \leq h(x_2)
\frac{x_1}{1 - x_1} \leq^? \frac{x_2}{1 - x_2}
x_1(1 - x_2) \leq x_2(1 - x_1)
x_1 - x_1 x_2 \leq x_2 - x_2 x_1
x_1 \leq x_2

\leq sup \{ f(x) : x \in B(0, \delta \} \leq 3 \frac{1}{1 - \delta} \to 3

Monotoniškos funkcijos
T. f : A \to \SETR, a ribinis didžiausias aibės A taškas ir f yra monotonikša. Tada f turi ribą taške a. Ir jei f monotoniška ir aprėžta, tai riba taške a yra baigtinė.

f(x) = x^2
a = 1 A = (\frac{1}{2}; 1)
x_1^2 \leq x_2^2, \forall x_1, x_2 \in A; \x_1 < x_2
0 \leq x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1) \cdot (x_2 + x_1)
\implies f(x) = x^2 intervale (\frac{1}{2}; 1) yra didėjanti

Funkcijos tolydumas
f : A \to \SETR, a \in A
Ap. Funkcija f vadinama tolydžia taške a, jei \forall U_{f(a)} \exists U_a f(x) \in U_{f(a)} \forall U_a \cap A
jei a izoliuotas aibės A taškas
\lim_{x \to a}{f(x)} = f(a)

f(x) = x^2 Ar ji tolydi taške a \in \SETR
f(a) = a^2
\lim_{x \to a}{x^2} = a^2
\implies \lim_{x \to a}{f(x)} = f(a? \implies f(x) = x^2 yra tolydi taške a
\implies f(x) = x^2 yra tolydi aibėje \SETR

Ap. Funckija f vadinama tolydžia B, jei ji tolydi visuose aibės B taškuose.

Trūkio taškų rūšys.
f : A \to \SETR a \in A
I rūšies trūkis. Jei \exists \lim_{x \to a^+}{f(x)}, \exists \lim_{x \to a^-}{f(x)} ir jos abi baigtinės, tai taškas a yra vadinamas I rūšies trūkiu.
Jei \lim_{x \to a^+}{f(x)} = \lim_{x \to a^-}{f(x)} \implies \exists \lim_{x \to a}{f(x)} baigtinė, tai taškas a vadinamas pataisomu trūkio tašku.
II rušies trūkis. Jei \not \exists \lim_{x \to a^+}{f(x)} arba \not \exists \lim_{x \to a^-}{f(x)} arba bent viena iš jų yra baigtinės, tai taškas a yra vadinamas II rūšies trūkiu.

f(x) = \frac{x}{x}; a = 0; \lim_{x \to 0}{f(x)} \not = f(0), nes \not \exists f(0)
\implies taškas x = 0 yra trūkio
\lim_{x \to 0}{\frac{x}{x}} = 1 \implies x = 0 yra I rūšies trūkio taškas ir jis yra pataisomas

f(x) = sign x; x = 0
\lim_{x \to 0^+}{sign(x)} = 1
\lim_{x \to 0^-}{sign(x)} = -1
iš abiejų \implies x = 0 yra I rūšies trūkio taškas

f(x) = \frac{1}{|x|}
x = 0
\lim_{x \to 0^+}{sign(x)} = + \infty
\lim_{x \to 0^-}{sign(x)} = - \infty
iš abiejų \implies x = 0 yra II rūšies trūkio taškas

f(x) = \sin \frac{1}{x}; x = 0
\not \exists \lim_{x \to 0}{sin \frac{1}{x}}
\not \exists \lim_{x \to 0^+}{sin \frac{1}{x}}
\not \exists \lim_{x \to 0^-}{sin \frac{1}{x}}
x = 0 yra II rūšies trūkio taškas

T. Jei f ir g yra tolydžios taške a, tai f + g, f \codt g ir \frac{f}{g} (jei g(a) \neq 0) yra tolydžios taške a.
Įrodymo pradžia.
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
(f \cdot g)(x) := f(x) \cdot g(x)
Reikia įrodyti \lim_{x \to a}{(f + g)(x)} = (f + g)(a)
Tikriname \lim_{x \to a}{(f + g)(x)} = \lim_{x \to a}{(f(x) + g(x))} = \lim_{x \to a}{f(x)} + \lim_{x \to a}{f(x)} = f(a) + g(a) = (f + g)(a)

(f \kompozicija g)(x) = f(g(x))
T. Jei g yra tolydi taške a ir f yra tolydi taške g(a), tai f \kompozicija g yra tolydi taške a
Pvz. f(x) = \cos \sin (x^4 \ln x)
tolydi \forall x > 0