03TheScaleFreeProperty(new)

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title: "无标度性质"
author: "史伟凡"
date: "2021/10/17"
output: html_document
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一、简介
 无标度（Scale-Free）是物理学家巴拉巴西（A. Barabasi）和他的博士生阿尔伯特（R. Albert）合作发现的一种网络结构特性，这种特性表现为网络节点的边数量在各个节点当中的分布情况呈现幂律分布（俗称长尾分布）情况，即拥有较少边的节点存在的概率很大，但是拥有数量巨大边的节点存在的概率也有且不为零。这种认识和人们在生活中普遍的认识（正态分布）相悖，故称之为“无标度”。附图为Albert初始研究的可视化结果。

二、数学概念
巴拉巴西等人发现的这个概念可以用数学公式表示为：
p(k)\approx Ck^-\lambda
其中lambda取值一般在2-4之间。这个分布就是幂律分布，图形性质可参考反比例函数的性质，即：两个变量之间的两极化趋势明显。在复杂网络当中，这种结构特性体现的事例很多，比如人际关系的社交情况、贫富情况等等。
发现这个概念之后，巴拉巴西等人创建了一个演化模型来解释这种分布情况产生的原因（B-A模型）。这种演化机制概括而言就是指服从以下特性的模型：
1.模型中节点在不断与其他节点产生边的关联。（增长性）
2.模型中的节点优先选择和那些已经拥有较多边的节点连接。（优先性）
其中优先性可用数学公式表达为：
Pi(k_{i})=\frac{k_{i}}{\sum\nolimits_{j}^n k{j}}
其中Pi(k_{i})是指新节点与拥有k条边的节点的节点i建立新的边的概率，n为网络所有的节点数。
依照此规律，就可以建立具有无标度性质的网络。这也解释了无标度性质的成因。

三、特点概括
综上所述，无标度性质的特点可概括为以下两点：
1.网络上的所有链接在节点间的分布是幂律分布，尽管概率很小，但拥有超级大量链接的节点总是存在。
2.网络生长过程中，节点不断的与其他节点建立联系。新增加的节点优先与拥有很多链接的节点建立联系。

四、实例
在真实网络中，往往还具有指数截断，小变量饱和等性质。所以幂律指数大多在2到3之间。而B-A模型智能生成度分布幂律指数为3的无标度网络。所以在真实网络中，为更好契合现实，我们可以用适应度模型来拟合。主要调整为特点2，使之变更为：越老的节点具有越高的度。现实例子有：WWW节点：网页  连边：超链接；
因特网 节点：路由器 连边：光缆链接；人际关系 节点：人 连边：关联关系 等等。

五、总结
无标度性质是指在复杂网络当中，节点边数量呈现幂律分布的结构特性。用B-A模型可以解释无标度性质的成因。

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knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```


picture source :Barabasi, A., & Albert, R. (1999). Emergence of scaling in random networks. science, 286(5439), 509-512. doi:10.1126/science.286.5439.509