EX2

EX 2

1/ pro zvolene rozdeleni a zvoleny parametr odvodte teoreticky vzorecek pro momentovy nebo maximalne verohodny odhad,

2/ pro simulovana data spocitejte navrzeny odhad,

3/ opakovanim simulace z bodu 2/ ziskate simulaci rozdeleni odhadu (vzhledem k odhadovanemu parametru) -- to lze znazornit napriklad pomoci histogramu,

4/ pokuste se odvodit konfidencni interval a pomoci pocitacove simulace overte, ze skutecne funguje.

Priklad pro Exponencialni rozdeleni v R:

## exponencialni rozdeleni

x=rexp(20,rate=10)
curve(dexp(x,rate=10))

odhad=1/mean(x)

simul.x=matrix(rexp(1000*20,rate=10),nrow=20)
odhady=apply(simul.x,2,function(x){1/mean(x)})

par(mfrow=c(2,2))
hist(odhady,prob=TRUE)
curve(dnorm(x,mean=10,sd=10/sqrt(20)),add=TRUE)

hist(log(odhady),pro=TRUE)
curve(dnorm(x,mean=log(10),sd=1/sqrt(20)),add=TRUE)

ci1.l=odhady-qnorm(0.975)*odhady/sqrt(20)
ci1.u=odhady+qnorm(0.975)*odhady/sqrt(20)
ci2.l=odhady/exp(qnorm(0.975)/sqrt(20))
ci2.u=odhady*exp(qnorm(0.975)/sqrt(20))

plot(NULL,ylim=c(0,25),xlim=c(0,100))
for(i in 1:100) {
    lines(x=c(i,i),y=c(ci1.l[i],ci1.u[i]))
}
abline(h=10)
pod1=mean(ci1.u<10)
nad1=mean(ci1.l>10)

plot(NULL,ylim=c(0,25),xlim=c(0,100))
for(i in 1:100) {
    lines(x=c(i,i),y=c(ci2.l[i],ci2.u[i]))
}
abline(h=10)
pod2=mean(ci2.u<10)
nad2=mean(ci2.l>10)


## verohodnostni a log-verohodnostni fce pro exponencialni rozdeleni (lze numericky maximalizovat napr. funkci mle() v knihovne stats4)

par(mfrow=c(2,1))
verohodnost=function(u){(u^20)*exp(-u*sum(x))}
curve(verohodnost(x),5,15)
logver=function(u){20*log(u)-u*sum(x)}
curve(logver(x),5,15)