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\documentclass[letterpaper, 11pt]{extarticle}
\input{preamble}
\input{format}
\input{commands}
\begin{document}
\begin{Huge}
Cálculo II - \textsf{\textbf{Trabajo Grupal 2}}
\end{Huge}
\vspace{2ex}
\textsf{\textbf{Integrantes:}} Grupo 2, ..., André V, ... \\
\textsf{\textbf{Carrera:}} \text{Ing. Informática - FCyT UMSS}
\vspace{2ex}
El trabajo plantea resolver la ecuación diferencial propuesta en \citep{TG2C2}, descrito a continuación. Así también se simula el comportamiento de una partícula para $t \in [0,2\pi]$ en GeoGebra \citep{geo}, describiendo los vectores tangente, normal, binormal unitarios (correspondientes al Triedro de Frenet), la curvatura y torsión.
\begin{problem}{EEDD}{}
Resolver la ecuación diferencial:
\begin{equation}
\frac{d^2r}{dt^2} = (-12\cos(3t)\sin(t)-20\cos(t)\sin(3t), 3\sin(t), -8\cos^2(2t)+8\sin^2(2t)) \quad t\in[0,2\pi]\label{eedd}
\end{equation}
Condición inicial $r(0) = (0, 0, 3)$ y $\frac{dr}{dt}(0) = (6, -3, 0)$
\end{problem}
Por tanto, se integró una vez a fin de obtener $r'(t)$ para evaluarla cuando $t=0$ y obtener el valor de las constantes; iterando este paso por segunda vez para obtener $r(t)$. Las ecuaciones \ref{e2}-\ref{e3} describen lo explicado. Para el cálculo, se utilizó la calc. TI-Nspire™ CX II CAS, en su función de ecuaciones diferenciales.
\begin{align}
r''(t)=\left\{\begin{matrix}
x''(t) &= -12\cos(3t)\sin(t)-20\cos(t)\sin(3t) \\
y''(t) &= 3\sin(t) \\
z''(t) &= -8\cos^2(2t)+8\sin^2(2t))
\end{matrix}\right., \quad t\in[0,2\pi] \label{e2} \\
r'(t)=\left\{\begin{matrix}
x'(t) = \int x''(t)dt =& 4\cos(4t)+2\cos(2t)+C_1 \\
y'(t) = \int y''(t)dt =& -3\cos(t)+C_2 \\
z'(t) = \int z''(t)dt =& -4\sin(2t)\cos(2t)+C_3
\end{matrix}\right., \quad t\in[0,2\pi] \label{} \\
r'(0)=\left\{\begin{matrix}
x'(0) = 6 =& 4\cos(4(0))+2\cos(2(0))+C_1 &\implies C_1=0 \\
y'(0) = -3 =& -3\cos(0)+C_2 &\implies C_2=0\\
z'(0) = 0 =& -4\sin(2(0))\cos(2(0))+C_3 &\implies C_3=0
\end{matrix}\right. \label{} \\
r'(t)=(4\cos(4t)+2\cos(2t),-3\cos(t),-4\sin(2t)\cos(2t)), \quad t\in[0,2\pi] \label{}\\
r(t)=\left\{\begin{matrix}
x(t) = \int x'(t)dt =& \sin(4t)+\sin(2t)+C_4 \\
y(t) = \int y'(t)dt =& -3\sin(t)+C_5 \\
z(t) = \int z'(t)dt =& \cos^2(2t)+C_6
\end{matrix}\right., \quad t\in[0,2\pi] \label{} \\
r(0)=\left\{\begin{matrix}
x(0) = 0 =& \sin(4(0))+\sin(2(0))+C_4 &\implies C_4=0 \\
y(0) = 0 =& -3\sin(0)+C_5 &\implies C_5=0\\
z(0) = 3 =& \cos^2(2(0))+C_6 &\implies C_6=2
\end{matrix}\right. \label{} \\
\boxed{r(t)=(\sin(4t)+\sin(2t),-3\sin(t),\cos^2(2t))+2, \quad t\in[0,2\pi]} \label{e3}
\end{align}
Con la EEDD ya resuelta se procedió a realizar la animación en GeoGebra.
\bigskip{\textit{\normalsize{Para el cálculo de esta curva, que nace a partir de la resolución de la ecuación diferencial planteada, se procede con los siguientes pasos para calcular y graficar dichos elementos en Geogebra:}}}
\begin{itemize}
\item{\textbf{\underline{\normalsize{La Curva.-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para la graficación de la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra, respecto a la ec. \eqref{e3}:}}
\begin{center}
\begin{equation}
r(t) = Curva((sen(4t) + sen(2t), -3sen(t), cos^{2}(2t) + 2), t\in[0, 2\pi])
\end{equation}
\end{center}
\bigskip
\item{\textbf{\underline{\normalsize{La 1° derivada de la curva [$v(t)$].-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación de la 1° derivada de la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra:}}
\begin{center}
\begin{equation}
v(t) = Derivada(r(t)) = \quad
\left.\begin{matrix}
x &= 4\cos(4t)+2\cos(2t) \\
y &= -3\cos(t) \\
z &= 2*2\sin(2)(-1)\cos(2t)
\end{matrix}\right\}0\leq t\leq 6.28
\label{derivada1}
\end{equation}
\end{center}
\bigskip
\item{\textbf{\underline{\normalsize{La 2° Derivada de la Curva [$a(t)$].-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación de la 2° derivada de la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra, respecto a la ec. \eqref{derivada1}:}}
\begin{center}
\begin{equation}
a(t) = Derivada(v(t), 2)
\label{derivada2}
\end{equation}
\end{center}
\bigskip{\textit{Nota: La expresión derivada es demasiado larga para ser expresada en el documento, sin embargo en el archivo de Geogebra, se puede apreciar su cálculo efectuado}}
\bigskip
\item{\textbf{\underline{\normalsize{La 3° Derivada de la Curva [$c(t)$].-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación de la 2° derivada de la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra, respecto a la ec. \eqref{derivada2}:}}
\begin{center}
\begin{equation}
c(t) = Derivada(a(t), 3)
\end{equation}
\end{center}
\bigskip{\textit{Nota: Al igual que la segunda derivada, la tercera derivada es demasiado larga para ser expresada en el documento, sin embargo en el archivo de Geogebra, se puede apreciar su cálculo efectuado}}
\bigskip
\item{\textbf{\underline{\normalsize{El Vector Tangente [T].-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación del vector tangente en relación a la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra:}}
\begin{center}
\textit{Para obtener el cálculo del vector tangente, se toma en cuenta la 1° derivada de la curva, y se calcula la Norma de esta derivada, por medio de la siguiente ecuación:}
\begin{equation}
\left||v(t)\right|| =\sqrt{{v(t)^2}}
\end{equation}
\textit{Así mismo, con la Norma de la 1° derivada, calculada, procedemos al cálculo del vector Tangente, dado por la siguiente fórmula en Geogebra:}
\begin{equation}
T = Vector(\frac{v(t)}{\sqrt{v(t) * v(t)}})
\end{equation}
\end{center}
\bigskip
\item{\textbf{\underline{\normalsize{El Vector Binormal [B] y el Vector Normal [N].-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación del vector BInormal en relación a la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra:}}
\begin{center}
\textit{Para obtener el cálculo del vector binormal, se toma en cuenta el producto vectorial dado entre la 1° derivada y la 2° derivada de la curva, dividido entre la normal de dicho producto vectorial, elevado al cuadrado, calculado por medio de la siguiente ecuación:}
\begin{equation}
B=\frac{v(t) \times a(t)}{\left||v(t) \times a(t)\right||^2}
\end{equation}
\textit{Dada la ecuación del producto vectorial entre ambas derivadas, obtendremos el vector binormal, insertando el siguiente código en Geogebra:}
\begin{equation}
B = Vector(\frac{v(t) \times a(t)}{\sqrt{(v(t) \times a(t)) * ((v(t) \times a(t))}})
\end{equation}
\end{center}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación del vector normal en relación a la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra:}}
\begin{center}
\textit{Para obtener el cálculo del vector normal, se toma en cuenta el producto vectorial dado entre los vectores: tangente y binormal, calculado por medio de la siguiente ecuación:}
\begin{equation}
N = B \times T
\end{equation}
\end{center}
\bigskip
\item{\textbf{\underline{\normalsize{La Curvatura [$\rho$].-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación de la curvatura en relación a la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra:}}
\begin{center}
\textit{Para calcular la curvatura que forma el desplazamiento del Triedro de Frenet y demás elementos sobre la función, utilizaremos la norma del producto vectorial entre la 1° y la 2° derivada, dividido entre la norma de la 1° derivada, elevada al cubo, dado que ya tenemos dichos elementos calculados, ingresaremos la fórmula al Geogebra, para el calculo de la curvatura, la cuál es:}
\begin{equation}
\rho = \frac{\sqrt{(v(t) \times a(t)) * (v(t) \times a(t))}}{(\sqrt{v(t) * v(t)})^{2}}
\end{equation}
\end{center}
\bigskip
\item{\textbf{\underline{\normalsize{La Torsión [$\tau$].-}}}}
\smallskip{\normalsize{Para el cálculo y la graficación de la torsión en relación a la curva dada por el resultado del desarrollo de la ecuación diferencial, insertamos el siguiente código en Geogebra:}}
\begin{center}
\textit{Para calcular la torsión que genera el desplazamiento del Triedro de Frenet y demás elementos sobre la función, utilizaremos el producto vectorial entre la 1° y la 2° derivada, multiplicado por la 3° derivada, todo esto a su vez, está dividido entre la norma del producto vectorial entre la 1° y 2° derivada, elevada al cuadrado; dado que ya tenemos dichos elementos calculados, ingresaremos la fórmula al Geogebra, para el calculo de la curvatura, la cuál es:}
\begin{equation}
\tau = \frac{(v(t) \times a(t)) * c(t)}{(\sqrt{(v(t) \times a(t)) * (v(t) \times a(t))})^{3}}
\end{equation}
\end{center}
\end{itemize}
Se detalla una captura de la ejecución con lo explicado preciamente en la Fig. \ref{fig:enter-label}.
\begin{figure}[b!]
\centering
\includegraphics[width=6cm, height=8cm]{"media/comp.jpg"}
\caption{Imagen sobre la gráfica de la Función, más sus componentes, la animación está disponible en \citep{geo}.}
\label{fig:enter-label}
\end{figure}
% =================================================
\newpage
% \vfill
\bibliographystyle{plainnat}
\renewcommand{\refname}{Referencias}
\bibliography{references}
\end{document}