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docs/lang/array.md

@@ -2,7 +2,7 @@ An array is a container for storing objects of the same type. The objects stored
 
 ## Array definition
 
-The definition of an array is in the form of `a[d]`, where `a` is the name of the array, and `d` is the number of elements in the array. While compiling, `d` should be known, that is, `d` should be a fixed integer.
+The definition of an array is in the form of `a[d]`, where `a` is the name of the array, and `d` is the number of elements in the array. While compiling, `d` should be known, that is, `d` should be an integral constant expression.
 
 ```cpp
 unsigned int d1 = 42;

docs/lang/csl/algorithm.md

@@ -1,25 +1,88 @@
-STL 提供了大约 100 个实现算法的模版函数，基本都包含在 `<algorithm>` 之中，还有一部分包含在 `<numeric>` 和 `<functional>` 。完备的函数列表请 [参见参考手册](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm) ，排序相关的可以参考 [排序内容的对应页面](../../basic/stl-sort.md) 。
+STL 提供了大约 100 个实现算法的模版函数，基本都包含在 `<algorithm>` 之中，还有一部分包含在 `<numeric>` 和 `<functional>`。完备的函数列表请 [参见参考手册](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm)，排序相关的可以参考 [排序内容的对应页面](../../basic/stl-sort.md)。
 
--  `find` ：顺序查找。 `find(v.begin(), v.end(), value)` ，其中 `value` 为需要查找的值。
--  `find_end` ：逆序查找。 `find_end(v.begin(), v.end(), value)` 。
--  `reverse` ：翻转数组、字符串。 `reverse(v.begin(), v.end())` 或 `reverse(a + begin, a + end)` 。
--  `unique` ：去除容器中相邻的重复元素。 `unique(ForwardIterator first, ForwardIterator last)` ，返回值为指向 **去重后** 容器结尾的迭代器，原容器大小不变。与 `sort` 结合使用可以实现完整容器去重。
--  `random_shuffle` ：随机地打乱数组。 `random_shuffle(v.begin(), v.end())` 或 `random_shuffle(v + begin, v + end)` 。
+- `find`：顺序查找。`find(v.begin(), v.end(), value)`，其中 `value` 为需要查找的值。
+- `find_end`：逆序查找。`find_end(v.begin(), v.end(), value)`。
+- `reverse`：翻转数组、字符串。`reverse(v.begin(), v.end())` 或 `reverse(a + begin, a + end)`。
+- `unique`：去除容器中相邻的重复元素。`unique(ForwardIterator first, ForwardIterator last)`，返回值为指向 **去重后** 容器结尾的迭代器，原容器大小不变。与 `sort` 结合使用可以实现完整容器去重。
+- `random_shuffle`：随机地打乱数组。`random_shuffle(v.begin(), v.end())` 或 `random_shuffle(v + begin, v + end)`。
 
 ???+warning "`random_shuffle` 函数在最新 C++ 标准中已被移除"
-     `random_shuffle` 自 C++14 起被弃用，C++17 起被移除。
+    `random_shuffle` 自 C++14 起被弃用，C++17 起被移除。
 
-    在 C++11 以及更新的标准中，您可以使用 `shuffle` 函数代替原来的 `random_shuffle` 。使用方法为 `shuffle(v.begin(),v.end(),rand)` （最后一个参数传入的是使用的随机数生成器，一般情况下传入 `rand` 即可）。
+    在 C++11 以及更新的标准中，您可以使用 `shuffle` 函数代替原来的 `random_shuffle`。使用方法为 `shuffle(v.begin(),v.end(),rand)`（最后一个参数传入的是使用的随机数生成器，一般情况下传入 `rand` 即可）。
 
--  `sort` ：排序。 `sort(v.begin(), v.end(), cmp)` 或 `sort(a + begin, a + end, cmp)` ，其中 `end` 是排序的数组最后一个元素的后一位， `cmp` 为自定义的比较函数。
--  `stable_sort` ：稳定排序，用法同 `sort()` 。
--  `nth_element` ：按指定范围进行分类，即找出序列中第 $n$ 大的元素，使其左边均为小于它的数，右边均为大于它的数。 `nth_element(v.begin(), v.begin() + mid, v.end(), cmp)` 或 `nth_element(a + begin, a + begin + mid, a + end, cmp)` 。
--  `binary_search` ：二分查找。 `binary_search(v.begin(), v.end(), value)` ，其中 `value` 为需要查找的值。
--  `merge` ：将两个（已排序的）序列合并。 `merge(v1.begin(), v1.end(), v2.begin(), v2.end())` 。
--  `lower_bound` ：在一个有序序列中进行二分查找，返回指向第一个 **大于等于**  $x$ 的元素的位置的迭代器。如果不存在这样的元素，则返回尾迭代器。 `lower_bound(v.begin(),v.end(),x)` 。
--  `upper_bound` ：在一个有序序列中进行二分查找，返回指向第一个 **大于**  $x$ 的元素的位置的迭代器。如果不存在这样的元素，则返回尾迭代器。 `upper_bound(v.begin(),v.end(),x)` 。
+- `sort`：排序。`sort(v.begin(), v.end(), cmp)` 或 `sort(a + begin, a + end, cmp)`，其中 `end` 是排序的数组最后一个元素的后一位，`cmp` 为自定义的比较函数。
+- `stable_sort`：稳定排序，用法同 `sort()`。
+- `nth_element`：按指定范围进行分类，即找出序列中第 $n$ 大的元素，使其左边均为小于它的数，右边均为大于它的数。`nth_element(v.begin(), v.begin() + mid, v.end(), cmp)` 或 `nth_element(a + begin, a + begin + mid, a + end, cmp)`。
+- `binary_search`：二分查找。`binary_search(v.begin(), v.end(), value)`，其中 `value` 为需要查找的值。
+- `merge`：将两个（已排序的）序列 **有序合并** 到第三个序列的 **插入迭代器** 上。`merge(v1.begin(), v1.end(), v2.begin(), v2.end() ,back_inserter(v3))`。
+- `inplace_merge`：将两个（已按小于运算符排序的）：`[first,middle), [middle,last)` 范围 **原地合并为一个有序序列**。`inplace_merge(v.begin(), v.begin() + middle, v.end())`。
+- `lower_bound`：在一个有序序列中进行二分查找，返回指向第一个 **大于等于**  $x$ 的元素的位置的迭代器。如果不存在这样的元素，则返回尾迭代器。`lower_bound(v.begin(),v.end(),x)`。
+- `upper_bound`：在一个有序序列中进行二分查找，返回指向第一个 **大于**  $x$ 的元素的位置的迭代器。如果不存在这样的元素，则返回尾迭代器。`upper_bound(v.begin(),v.end(),x)`。
 
 ???+warning "`lower_bound` 和 `upper_bound` 的时间复杂度"
-    在一般的数组里，这两个函数的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，但在 `set` 等关联式容器中，直接调用 `lower_bound(s.begin(),s.end(),val)` 的时间复杂度是 $O(n)$ 的。
+    在一般的数组里，这两个函数的时间复杂度均为 $O(\log n)$，但在 `set` 等关联式容器中，直接调用 `lower_bound(s.begin(),s.end(),val)` 的时间复杂度是 $O(n)$ 的。
 
-     `set` 等关联式容器中已经封装了 `lower_bound` 等函数（像 `s.lower_bound(val)` 这样），这样调用的时间复杂度是 $O(\log n)$ 的。
+    `set` 等关联式容器中已经封装了 `lower_bound` 等函数（像 `s.lower_bound(val)` 这样），这样调用的时间复杂度是 $O(\log n)$ 的。
+
+- `next_permutation`：将当前排列更改为 **全排列中的下一个排列**。如果当前排列已经是 **全排列中的最后一个排列**（元素完全从大到小排列），函数返回 `false` 并将排列更改为 **全排列中的第一个排列**（元素完全从小到大排列）；否则，函数返回 `true`。`next_permutation(v.begin(), v.end())` 或 `next_permutation(v + begin, v + end)`。
+- `partial_sum`：求前缀和。设源容器为 $x$，目标容器为 $y$，则令 $y[i]=x[0]+x[1]+...+x[i]$。`partial_sum(src.begin(), src.end(), back_inserter(dst))`。
+
+### 使用样例
+
+- 使用 `next_permutation` 生成 $1$ 到 $9$ 的全排列。例题：[Luogu P1706 全排列问题](https://www.luogu.com.cn/problem/P1706)
+
+```cpp
+int N = 9, a[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
+do {
+  for (int i = 0; i < N; i++) cout << a[i] << " ";
+  cout << endl;
+} while (next_permutation(a, a + N));
+```
+
+- 使用 `lower_bound` 与 `upper_bound` 查找有序数组 $a$ 中小于 $x$，等于 $x$，大于 $x$ 元素的分界线。
+
+```cpp
+int N = 10, a[] = {1, 1, 2, 4, 5, 5, 7, 7, 9, 9}, x = 5;
+int i = lower_bound(a, a + N, x) - a, j = upper_bound(a, a + N, x) - a;
+// a[0] ~ a[i - 1] 为小于x的元素， a[i] ~ a[j - 1] 为等于x的元素， a[j] ~ a[N -
+// 1] 为大于x的元素
+cout << i << " " << j << endl;
+```
+
+- 使用 `partial_sum` 求解 $src$ 中元素的前缀和，并存储于 $dst$ 中。
+
+```cpp
+vector<int> src = {1, 2, 3, 4, 5}, dst;
+// 求解src中元素的前缀和，dst[i] = src[0] + ... + src[i]
+// back_inserter 函数作用在 dst 容器上，提供一个迭代器
+partial_sum(src.begin(), src.end(), back_inserter(dst));
+for (unsigned int i = 0; i < dst.size(); i++) cout << dst[i] << " ";
+```
+
+- 使用 `lower_bound` 查找有序数组 $a$ 中最接近 $x$ 的元素。例题：[UVA10487 Closest Sums](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10487)
+
+```cpp
+int N = 10, a[] = {1, 1, 2, 4, 5, 5, 8, 8, 9, 9}, x = 6;
+// lower_bound将返回a中第一个大于等于x的元素的地址，计算出的i为其下标
+int i = lower_bound(a, a + N, x) - a;
+// 在以下两种情况下，a[i] (a中第一个大于等于x的元素) 即为答案：
+// 1. a中最小的元素都大于等于x；
+// 2. a中存在大于等于x的元素，且第一个大于等于x的元素 (a[i])
+// 相比于第一个小于x的元素 (a[i - 1]) 更接近x；
+// 否则，a[i - 1] (a中第一个小于x的元素) 即为答案
+if (i == 0 || (i < N && a[i] - x < x - a[i - 1]))
+  cout << a[i];
+else
+  cout << a[i - 1];
+```
+
+- 使用 `sort` 与 `unique` 查找数组 $a$ 中 **第 $k$ 小的值**（注意：重复出现的值仅算一次，因此本题不是求解第 $k$ 小的元素）。例题：[Luogu P1138 第 k 小整数](https://www.luogu.com.cn/problem/P1138)
+
+```cpp
+int N = 10, a[] = {1, 3, 3, 7, 2, 5, 1, 2, 4, 6}, k = 3;
+sort(a, a + N);
+// unique将返回去重之后数组最后一个元素之后的地址，计算出的cnt为去重后数组的长度
+int cnt = unique(a, a + N) - a;
+cout << a[k - 1];
+```