small update

ana1/continous_functions.org

@@ -96,7 +96,7 @@
    #+end_lemma
    #+begin_proof latex
    $(\impliedby)$: Gilt das $\eps / \delta$ Kriterium, so ist $f$ auch in $x_0$ offensichtlich stetig \\
-   $(\implies)$: Sei also $f$ stetig in $x_0$. Angenommen, dass $\eps / \delta$ -Kriterium gälte nicht,
+   $(\implies)$: Sei also $f$ stetig in $x_0$. Angenommen, dass \(\eps / \delta\)-Kriterium gälte nicht,
    das heißt es gibt ein $\eps > 0$, sodass $\Forall \delta > 0$ ein $x\in D$ mit $\abs{x - x_0} < \delta$ und $\abs{f(x) - f(x_0)} \geq \eps$ gibt. Widerspruch zu
    \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
    #+end_proof

ana1/differential_calculus.org

@@ -165,7 +165,7 @@
    #+begin_defn latex
    Die Funktion $f:D\to\mathbb{R}$ hat in einem Punkt $x_0 \in D$ ein *globales Extremum* (Minimum oder Maximum), wenn gilt
    \[f(x_0) \leq f(x), x\in D \vee f(x_0) \geq f(x) \Forall x \in D\]
-   Es handelt sich um ein *lokales Extremum* (Minimum oder Maximum), wenn auf einer $\delta$ -Umgebung von $x_0$ (das heißt $U_\delta(x_0) = \{x\in D\mid\abs{x - x_0} < \delta\}$)
+   Es handelt sich um ein *lokales Extremum* (Minimum oder Maximum), wenn auf einer \(\delta\)-Umgebung von $x_0$ (das heißt $U_\delta(x_0) = \{x\in D\mid\abs{x - x_0} < \delta\}$)
    gilt $f(x_0) \geq f(x) \Forall x\in U_\delta(x_0) \vee f(x_0) \leq f(x) \Forall x\in U_\delta(x_0)$
    Ein Extremum (globales oder lokales) heißt strikt, wenn es das isolierteste Punkt in $D$ beziehungsweise in $U_\delta(x_0)$ ist, das heißt $f(x_0) > f(x) \vee f(x_0) < f(x)$
    #+end_defn
@@ -349,7 +349,7 @@
    Wir wollen untersuchen unter welchen Bedingungen solche Potenzreihe für eine Funktion möglich ist
    und wie man diese aus der Funktion bestimmen kann. Wir haben schon in Übung für die Darstellung für Polynome gezeigt:
    \[p(x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{p^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k\]
-   $p$ -Polynom. Wie ist das bei allgemeinen Funktionen
+   \(p\)-Polynom. Wie ist das bei allgemeinen Funktionen
    #+ATTR_LATEX: :options [4.25]
    #+begin_defn latex
    Für $f:(a, b) \to\mathbb{R}, f$ n-mal stetig differenzierbar definieren wir das n-te Taylor Polynom
@@ -359,7 +359,7 @@
    #+end_defn
    #+ATTR_LATEX: :options [4.26]
    #+begin_thm latex
-   Sei $f: (a, b) \to \mathbb{R}~(n + 1)$ -mal stetig differenzierbar und $t_n(x_0, \cdot)$  ihr
+   Sei \(f: (a, b) \to \mathbb{R}~(n + 1)\)-mal stetig differenzierbar und $t_n(x_0, \cdot)$  ihr
    n-tes Taylor Polynom um ein $x_0\in n(a,b)$. Dann gibt es zu jeden $x\in (a,b)$ ein $\xi$ zwischen
    $x$ und $x_0$, so dass gilt
    \[f(x) = t_n(x_0, x) + \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}\]
@@ -383,7 +383,7 @@
    #+end_proof
    #+ATTR_LATEX: :options [4.27]
    #+begin_defn latex
-   1. $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ heißt glatt (oder $C^\infty$ -Funktion) wenn sie beliebig oft
+   1. $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ heißt glatt (oder \(C^\infty\)-Funktion) wenn sie beliebig oft
 	  differenzierbar ist, das heißt $\Forall k\in\mathbb{N}$ ihre k-te Ableitung $f^{(k)}$ existiert
    2. Die Taylorreihe von $f$ und ein $x_0 \in (a,b)$ ist dann definiert durch
 	  \[t_\infty(x_0, x):= \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k\]
@@ -440,23 +440,23 @@
 ** Anwendung von Taylor-Entwicklung
    #+ATTR_LATEX: :options [4.29]
    #+begin_korollar latex
-   Sei $f:(a, b)\to \mathbb{R}$ eine $n$ -mal $(n \geq 2)$ stetig differenzierbare Funktion mit
+   Sei $f:(a, b)\to \mathbb{R}$ eine \(n\)-mal $(n \geq 2)$ stetig differenzierbare Funktion mit
    \[f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{n - 1}(x_0)= 0, f^{(n)}(x_0) \neq 0\]
    für ein $x_0 \in (a, b)$
    Ist $n$ gerade, so hat $f$ in $x_0$ ein striktes lokales Minimum oder Maximum (je nachdem ob $f^{(n)}(x_0) > 0$ oder $f^{(n)}(x_0) < 0$ ist).
    Ist $n$ ungerade, so hat $f$ in $x_0$ einen Wendepunkt.
    #+end_korollar
    #+begin_proof latex
-   Ist $f$ $n$ -mal differenzierbar in $(a, b)$ und gilt die Bedingung, so folgt mit der Taylor-Entwicklung
+   Ist $f$ \(n\)-mal differenzierbar in $(a, b)$ und gilt die Bedingung, so folgt mit der Taylor-Entwicklung
    \[f(x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x - \xi)^n = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x - \xi)^n\]
    mit einem $\xi \in (a, b)$ zwischen $x$ und $x_0$. Die Funktion
    \[\Delta_n(x) := \frac{f(x) - f(x_0)}{(x - x_0)^n}, x \neq x_0\]
    konvergiert für $x \to x_0$ nach
    \[\Delta_n(x) \to \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]
    Folglich kann die Funktion $\Delta_n$ zu einer auf $(a, b)$ stetigen Funktion fortgesetzt werden. Für diese gilt
    \[f(x) - f(x_0) = \Delta_n(x)(x - x_0)^n, \Delta_n(x_0) = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]
-   Falls $\Delta_n(x_0) > 0$, existiert wegen der Stetigkeit von $\Delta_n$ eine $\eps$ -Umgebung, $\eps > 0$,
-   von $x_0$, in der $\Delta_n > 0$. Auf dieser $\eps$ -Umgebung gilt daher für gerades $n$:
+   Falls $\Delta_n(x_0) > 0$, existiert wegen der Stetigkeit von $\Delta_n$ eine \(\eps\)-Umgebung, $\eps > 0$,
+   von $x_0$, in der $\Delta_n > 0$. Auf dieser \(\eps\)-Umgebung gilt daher für gerades $n$:
    \[f(x) - f(x_0) = \underbrace{\Delta_n(x)}_{> 0}(x - x_0)^n \implies f(x) > f(x_0)\]
    $\implies f(x_0)$ ist ein lokales Minimum. Analog argumentieren wir für $\Delta_n(x_0) < 0$.
    Für ungerades $n$ dagegen \[f(x) - f(x_0) = \underbrace{\Delta_n(x)}_{> 0}(x - x_0)^n \begin{cases} > 0 & x > x_0 \\ < 0 & x < x_0 \end{cases}\]

ana1/sequence.org

@@ -4,7 +4,7 @@
 
   Topologische Struktur auf Mengen.
   - Abstände in $\mathbb{R}^1$ Betrag $\abs{x - y}$ $\xrightarrow{\text{Verallgemeinerung}}$ Norm / Metrik
-  - Umgebung in $\mathbb{R}^1$ $\eps$ -Intervall $\xrightarrow{\text{Verallgemeinerung}}$ Kugel Umgebung
+  - Umgebung in $\mathbb{R}^1$ \(\eps\)-Intervall $\xrightarrow{\text{Verallgemeinerung}}$ Kugel Umgebung
 
   Wir betrachten Folgen $\mathbb{N}\to\mathbb{R}, n\mapsto a_n$ (oder $\mathbb{C}$)
 ** Definition 2.1 Konvergenz
@@ -314,7 +314,7 @@
    \Forall \eps > 0 I_\eps(a) \cap \string(a,b] \neq \emptyset \\
    I_\eps (a) \cap \mathbb{R} \setminus \string(a,b] \neq \emptyset
    \end{align*}
-   Sei $A = \mathbb{Q}$, dann $\bar A =\mathbb{\mathbb{R}}$, $\partial A =\mathbb{R}$ denn in jedem $\eps$ -Intervall um eine rationale Zahl gibt es sowohl rationale als auch irrationale Zahlen
+   Sei $A = \mathbb{Q}$, dann $\bar A =\mathbb{\mathbb{R}}$, $\partial A =\mathbb{R}$ denn in jedem \(\eps\)-Intervall um eine rationale Zahl gibt es sowohl rationale als auch irrationale Zahlen
    #+end_ex
    #+begin_remark latex
    \mbox{}

ana2/differentiation.org

@@ -198,7 +198,7 @@
   \end{align*}
   Für $x = (x_1, \dots, x_n) ∈ ℝ^n$ wird gesetzt
   \[x^α := x_1^{α_1} · \dots · x_n^{α_n}\]
-  Für eine $\abs{α}$ -mal stetig differenzierbare Funktion wird gesetzt
+  Für eine \(\abs{α}\)-mal stetig differenzierbare Funktion wird gesetzt
   \[\partial^α f := \partial_1^{α_1} \dots \partial_n^{α_n} f := \frac{\partial^{\abs{α}} f}{\partial_{x_1}^{α_1} \dots \partial_{x_n}^{α_n}}\]
   #+end_defn
   #+begin_remark latex
@@ -219,7 +219,7 @@
   #+end_ex
   #+ATTR_LATEX: :options [Taylor-Formel]
   #+begin_thm latex
-  Sei $D ⊂ ℝ^n$ eine offene Menge und $f: D \to ℝ$ eine $(r + 1)$ -mal stetig differenzierbare Funktion.
+  Sei $D ⊂ ℝ^n$ eine offene Menge und $f: D \to ℝ$ eine \((r + 1)\)-mal stetig differenzierbare Funktion.
   Dann gilt für jeden Vektor $h ∈ ℝ^n$ mit $x + sh ∈ D, s ∈ [0, 1]$ die Taylor-Formel
   \[f(x + h) = \sum_{\abs{α} < r} \frac{\partial^α f(x)}{α!}h^α + R_{r + 1}^f(x, h)\]
   in differentieller Form
@@ -241,7 +241,7 @@
   Es gilt
   \[\partial_{i_k} \dots \partial_{i_1} f(x + th)h_{i_1} \dots h_{i_k} = \partial_1^{α_1} \dots \partial_n^{α_n}f(x + th) h_1^{α_1} \dots h_n^{α_n}\]
   (der Index $i ∈ \{1, \dots, n\}$ kommt genau $α_i$ mal vor und wegen Vertauschbarkeit der Ableitungen).
-  Die Anzahl der $k$ -Tupel $(i_1, \dots, i_k)$ von Zahlen $i_j ∈ \{1, \dots, n\}$, bei denen die Zahl $i ∈ \{1, \dots, n\}$ genau $α_i$ -mal vorkommt mit $α_1 + \dots + α_n = k$ ist
+  Die Anzahl der \(k\)-Tupel $(i_1, \dots, i_k)$ von Zahlen $i_j ∈ \{1, \dots, n\}$, bei denen die Zahl $i ∈ \{1, \dots, n\}$ genau \(α_i\)-mal vorkommt mit $α_1 + \dots + α_n = k$ ist
   \[\frac{k!}{α_1! \dots α_n !}\]
   (Lemma unten)
   Wir bekommen
@@ -262,7 +262,7 @@
   #+ATTR_LATEX: :options [2.20]
   #+begin_lemma latex
   Sei $α = (α_1, \dots, α_n)$ mit $\abs{α} = k \geq 1$. Dann ist die Anzahl $N_α (k)$ der k-Tupel von Zahlen $i_j = \{1, \dots, n\}$, bei denen die Zahl $i ∈ \{1, \dots, n\}$
-  genau	$α_i$ -mal vorkommt, bestimmt durch
+  genau	\(α_i\)-mal vorkommt, bestimmt durch
   \[N_α(k) = \frac{k!}{α_1! \dots α_n!}\]
   #+end_lemma
   #+begin_proof latex

ana2/lebesque_integration.org

@@ -5,7 +5,7 @@
    - $\abs{M} = \abs{M'}$ falls $M$ und $M'$ isometrisch (durch Abstandserhaltende Transformation) sind. \hfill (Bewegungsinvarianz)
    - $M ∩ N = \emptyset ⇒ \abs{M ∪ N} = \abs{M} + \abs{N}$
    In $ℝ^1$ oder $ℝ^2$ können wir $∀ M ⊂ ℝ^2$ einen "Inhalt" mit solchen Eigenschaften zuordnen (Banach), aber nicht in $ℝ^3$ (Hausdorff)
-   Wir beginnen mit $n$ -dimensionalen (abgeschlossenen) Intervallen $I := I_1 × \dots × I_n$, wobei $I_i = [a_1, b_i], i = 1, \dots, n, a_i < b_i, a_i, b_i ∈ ℝ$.
+   Wir beginnen mit \(n\)-dimensionalen (abgeschlossenen) Intervallen $I := I_1 × \dots × I_n$, wobei $I_i = [a_1, b_i], i = 1, \dots, n, a_i < b_i, a_i, b_i ∈ ℝ$.
    \[\abs{I} := \prod_{i = 1}^n (b_i - a_i)\]
    Für Intervallsummen $S$ mit einer nicht überlappenden Darstellung
    \[S = ∪_{k = 1, \dots, m} I_k\]
@@ -98,29 +98,29 @@
 	 \[⇒ μ^{\ast}(A) \leq \sum_{k = 1}^{∞} \abs{I_k} = \sum_{k = 1}^{∞} ε 2^{-nk} = \frac{ε}{1 - 2^n} ⇒ μ^{\ast}(A) = 0\]
    #+end_remark
    #+begin_remark latex
-   $μ^{\ast}$ ist nicht $σ$ -additiv auf allen Mengen in $ℝ^n$. Dafür brauchen wir eine geeignete Klasse von Mengen in $ℝ^n$.
+   $μ^{\ast}$ ist nicht \(σ\)-additiv auf allen Mengen in $ℝ^n$. Dafür brauchen wir eine geeignete Klasse von Mengen in $ℝ^n$.
    #+end_remark
    #+ATTR_LATEX: :options [Mengenalgebra]
    #+begin_defn latex
    Die nicht-leere Teilmenge $\mathcal{A} ⊂ \mathcal{P}(X)$ heißt Algebra auf $X$, wenn sie $X$ und $\emptyset$ enthält und wenn mit $A, B ∈ \mathcal{A}$ auf $A \setminus B, A ∪ B, A ∩ B ∈ \mathcal{A}$ sind.
-   Sie heißt $σ$ -Algebra, wenn sie zusätzlich mit $A_i ∈ \mathcal{A}, i ∈ ℕ$ auch
+   Sie heißt \(σ\)-Algebra, wenn sie zusätzlich mit $A_i ∈ \mathcal{A}, i ∈ ℕ$ auch
    \[∪_{i ∈ ℕ} A_i, ∩_{i ∈ ℕ} A_i ∈ \mathcal{A}\]
    sind.
    #+end_defn
    #+begin_ex latex
-   1. $\mathcal{A} = \{\emptyset, X\}$ die kleinste $σ$ -Algebra für eine Menge $X$, $\mathcal{A} = \mathcal{P}(X)$ ist die größte $σ$ -Algebra auf $X$
+   1. $\mathcal{A} = \{\emptyset, X\}$ die kleinste \(σ\)-Algebra für eine Menge $X$, $\mathcal{A} = \mathcal{P}(X)$ ist die größte \(σ\)-Algebra auf $X$
    2. Für eine Menge $X$ und Teilmenge $A ⊂ X$ ist
 	  \[\mathcal{A} = \{\emptyset, X, A, A^C = X \setminus A\}\]
-	  die kleinste $σ$ -Algebra, die $A$ enthält
-   3. Für $X = ℝ^n$ heißt die kleinste $σ$ -Algebra welche die alle offene und abgeschlossene Teilmengen enthält die *Borelsche $σ$ -Algebra*.
-   4. Ist $X ⊂ ℝ^n$ eine Jordan-quadrierbare Menge, so ist die Menge der Jordan-quadrierbaren Teilmengen von $X$ eine Algebra, aber keine $σ$ -Algebra
-   5. Die Lebesgue-Nullmengen in $ℝ^n$ und ihre Komplemente bilden eine $σ$ -Algebra (nicht in dem Fall von Jordan-Nullmengen)
+	  die kleinste \(σ\)-Algebra, die $A$ enthält
+   3. Für $X = ℝ^n$ heißt die kleinste \(σ\)-Algebra welche die alle offene und abgeschlossene Teilmengen enthält die *Borelsche \(σ\)-Algebra*.
+   4. Ist $X ⊂ ℝ^n$ eine Jordan-quadrierbare Menge, so ist die Menge der Jordan-quadrierbaren Teilmengen von $X$ eine Algebra, aber keine \(σ\)-Algebra
+   5. Die Lebesgue-Nullmengen in $ℝ^n$ und ihre Komplemente bilden eine \(σ\)-Algebra (nicht in dem Fall von Jordan-Nullmengen)
    #+end_ex
    #+begin_lemma latex
    Eine (nicht-leere) Teilmenge $\mathcal{A} ⊂ \mathcal{P}(X)$ ist bereits eine Algebra, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind
    1. Mit $A ∈ \mathcal{A}$ ist $A^C = X \setminus A ∈ \mathcal{A}$
    2. Mit $A, B ∈ \mathcal{A}, A ∪ B ∈ \mathcal{A}$
-   Es ist eine $σ$ -Algebra, wenn zusätzlich gilt:
+   Es ist eine \(σ\)-Algebra, wenn zusätzlich gilt:
    3. [@3] Für beliebige, paarweise disjunkte Mengen $A_i ∈ \mathcal{A}_i, i ∈ ℕ$ ist
 	  \[∪_{i ∈ ℕ} A_i ∈ \mathcal{A}\]
    #+end_lemma
@@ -130,7 +130,7 @@
    \[X = (X\setminus A) ∪ A = A^C ∪ A ∈ \mathcal{A}\]
    sowie $X^C = \emptyset ∈ \mathcal{A}$. Mit $A, B ∈ \mathcal{A}$ ist $A^C, B^C ∈ \mathcal{A}$
    \[⇒ A ∩ B = (A^C ∪ B^C) ∈ \mathcal{A}\]
-   und folglich auch $A \setminus B = A ∩ B^C ∈ \mathcal{A}$. Für die $σ$ -Algebra muss zusätzlich $∩_{i ∈ ℕ} A_i ∈ \mathcal{A}$. Für $A_i ∈ \mathcal{A}, i ∈ ℕ$ gilt die disjunkte Darstellung
+   und folglich auch $A \setminus B = A ∩ B^C ∈ \mathcal{A}$. Für die \(σ\)-Algebra muss zusätzlich $∩_{i ∈ ℕ} A_i ∈ \mathcal{A}$. Für $A_i ∈ \mathcal{A}, i ∈ ℕ$ gilt die disjunkte Darstellung
    \[∪_{i ∈ ℕ} A_i = ∪_{i ∈ ℕ} A_i\]
    \[B_1 := A_1, B_2 := A_2 \setminus A_1, \dots, B_j = A_j \setminus ∪_{i = 1}^{j - 1} A_i\]
    alle $B_i ∈ \mathcal{A}$ sowie
@@ -250,14 +250,14 @@
 	  E ∩ A &⊂ ∪_i J_i \\
 	  E ∩ A^C &⊂ ∪_i K_i \\
       \end{align*}
-	  Wegen $σ$ -Subadditivität von $μ^{\ast}$ folgt mit $\abs{I_i} = \abs{J_i} + \abs{K_i}$
+	  Wegen \(σ\)-Subadditivität von $μ^{\ast}$ folgt mit $\abs{I_i} = \abs{J_i} + \abs{K_i}$
 	  \[μ^{\ast}(E ∩ A) + μ^{\ast}(E ∩ A^C) \leq \sum_{i} \abs{J_i} + \sum_{i} \abs{K_i} = \sum_{i} \abs{I_i} \leq μ^{\ast}(E) + ε\]
 	  Da $ε$ beliebig war gilt
 	  \[μ^{\ast}(A ∩ E) + μ^{\ast}(E ∩ A^C) \leq μ^{\ast}(E)\]
 	  "$\supseteq$" geht wie in $A$.
    #+end_proof
    #+begin_thm latex
-   1. Die Menge $Lμ$ bildet eine $σ$ -Algebra. Diese $σ$ -Algebra enthält alle Jordan-quadrierbaren Mengen.
+   1. Die Menge $Lμ$ bildet eine \(σ\)-Algebra. Diese \(σ\)-Algebra enthält alle Jordan-quadrierbaren Mengen.
    2. Das Lebesgue-Maß ist auf $Lμ$ bewegungsinvariant und stimmt auf Jordan-quadrierbaren Mengen mit dem Jordan-Inhalt überein.
 	  Für $A, B, A_i . Lμ$ gilt außerdem
 	  1. $μ(A \setminus B) = μ(A) - μ(B)$, für $B ⊂ A, μ(B) < ∞$
@@ -268,7 +268,7 @@
    #+begin_proof latex
    1. Wir haben bereits gezeigt, dass $Lμ$ eine Algebra ist. Es bleibt zu zeigen: $A_i ∈ Lμ, i ∈ ℕ$, dann ist auch
 	  \[∪_{i ∈ ℕ} A_i ∈ Lμ\]
-	  vorausgesetzt, dass $A_i ∩ A_j = \emptyset, i \neq j$. Bezeichne $S := ∪_{i ∈ ℕ} A_i$, dass gilt für beliebiges $E ⊂ ℝ^n$ und $σ$ -Subadditivität des äußeren Lebesgue-Maß
+	  vorausgesetzt, dass $A_i ∩ A_j = \emptyset, i \neq j$. Bezeichne $S := ∪_{i ∈ ℕ} A_i$, dass gilt für beliebiges $E ⊂ ℝ^n$ und \(σ\)-Subadditivität des äußeren Lebesgue-Maß
 	  \[μ^{\ast}(E ∩ S) \leq \sum_{i ∈ ℕ} μ^{\ast}(E ∩ A_i)\]
 	  Es gilt für $A, B ∈ Lμ, A ∩ B = \emptyset$ und $E' = E ∩ (A ∪ B)$
 	  \begin{align*}
@@ -282,13 +282,13 @@
 	  \[μ^{\ast}(E) = μ(E ∩ S_m) + μ^{\ast}(E ∩ S_m^C) \geq μ^{\ast}(E ∩ S) + μ^{\ast}(E ∩ S^C)\]
 	  Für $m \to ∞$ erhalten wir
 	  \[μ^{\ast}(E) \geq \sum_{i = 1}^{m} μ^{\ast}(E ∩ A_i) + μ^{\ast}(E ∩ S^C)\]
-	  Aus $σ$ -Subadditivität folgt weiter
+	  Aus \(σ\)-Subadditivität folgt weiter
 	  \[μ^{\ast}(E) = μ^{\ast}((E ∩ S) ∪ (E ∩ S^C)) \leq \sum_{i = 1}^{∞} μ^{\ast}(E ∩ A_i) + μ^{\ast}(E ∩ S^C)\]
 	  Und damit erhalten wir
 	  \[μ^{\ast}(E) = \sum_{i = 1}^{∞} μ^{\ast}(E ∩ A_i) + μ^{\ast}(E ∩ S^C)\]
 	  Es folgt
 	  \[μ^{\ast}(E) \geq μ^{\ast}(E ∩ S) + μ^{\ast}(E ∩ S^C)\]
-	  Die Umkehrung folgt aus $σ$ -Subadditivität, das heißt
+	  Die Umkehrung folgt aus \(σ\)-Subadditivität, das heißt
 	  \[μ^{\ast}(E) \leq μ^{\ast}((E ∩ S) ∪ (E ∩ S^C)) \leq μ^{\ast}(E ∩ S) + μ^{\ast}(E ∩ S^C)\]
    2. Die Bewegungsinvarianz folgt aus der Bewegungsinvarianz des äußeren Maßes, $\abs{A} = μ^{\ast}(A) = μ(A)$
 	  1. $μ(A) = μ((A \setminus B) ∪ B) = μ(A \setminus B) + μ(B) ⇔ μ(A \setminus B) = μ(A) - μ(B)$
@@ -321,15 +321,15 @@
    #+end_lemma
    #+begin_proof latex
    Wir betrachten $I = [a, b] = [a_1, b_1] × \dots × [a_n, b_n] ⊆ ℝ^n$ mit $a, b ∈ ℚ^n$. Es gibt abzählbar viele
-   solcher Intervalle. $∀ x ∈ A ∃ ε$ -Kugel $K_ε(x) ⊆ A$. Also gibt es auch ein rationales Intervall $I ⊆ A$
+   solcher Intervalle. \(∀ x ∈ A ∃ ε\)-Kugel $K_ε(x) ⊆ A$. Also gibt es auch ein rationales Intervall $I ⊆ A$
    mit $x ∈ I$ und $A = U_i I_i$. Nach Lemma 4.16 ist dann $A$ auch Vereinigung von abzählbar vielen, paarweise
    disjunkten Intervallen.
    #+end_proof
    #+begin_korollar latex
-   Die Menge $Lμ ⊂ \mathcal{P}(ℝ^n)$ enthält alle offenen und abgeschlossenen Mengen des $ℝ^n$ sowie deren abzählbare Schnitte (sogenannte $Gσ$ -Mengen) und Vereinigungen ($Fσ$ -Mengen)
+   Die Menge $Lμ ⊂ \mathcal{P}(ℝ^n)$ enthält alle offenen und abgeschlossenen Mengen des $ℝ^n$ sowie deren abzählbare Schnitte (sogenannte \(Gσ\)-Mengen) und Vereinigungen (\(Fσ\)-Mengen)
    #+end_korollar
    #+begin_proof latex
-   $Lμ$ ist $σ$ -Algebra. Die Behauptung folgt aus Lemma 4.17.
+   $Lμ$ ist \(σ\)-Algebra. Die Behauptung folgt aus Lemma 4.17.
    #+end_proof
    #+begin_thm latex
    Für eine beliebige Menge $A ⊂ ℝ^n$ ist
@@ -369,7 +369,7 @@
    - Zerlegung in abzählbar viele messbare Mengen
    Sei $D ⊂ ℝ^n$ eine messbare Menge. Wir betrachten abzählbare Zerlegungen $Z = \{B_i\}$ von $D$ in messbare $B_i ⊂ M$, sodass
    \[D = ∪_{i = 1} B_i, B_i ∩ B_j = \emptyset, i \neq j\]
-   $\mathcal{Z}(D)$ - Menge aller solchen Zerlegungen. Die Feinheit
+   \(\mathcal{Z}(D)\)- Menge aller solchen Zerlegungen. Die Feinheit
    \[\abs{Z} := \sup_{B_i ∈ Z} μ(B_i)\]
    Eine Zerlegung $\tilde Z = \{\tilde B_i\}$ ist eine Verfeinerung von $Z = \{B_i\}$ ($\tilde Z \succ Z$), wenn alle $\tilde B_j$ Teilmengen gewisser $B_i$ sind.
    \[Z \ast \tilde Z := \{B_i ∩ \tilde B_j\}\]
@@ -417,7 +417,7 @@
    #+end_lemma
    #+begin_proof latex
    Ist $Z^{\ast} ∈ \mathcal{Z}_f^{\ast}(D)$ und $\sup_{x ∈ B_i^{\ast}}(f) = ∞$ für ein $B_i^{\ast} ∈ Z^{\ast}$, so muss $μ^{\ast}(B_i^{\ast}) = 0$.
-   $Σ_f$ in in der Vereinigung von höchstens abzählbar vielen Nullmengen und damit wegen $σ$ -Subadditivität von $μ^{\ast}$	bekommen wir $μ^{\ast}(Σ_f) = 0$
+   $Σ_f$ in in der Vereinigung von höchstens abzählbar vielen Nullmengen und damit wegen \(σ\)-Subadditivität von $μ^{\ast}$	bekommen wir $μ^{\ast}(Σ_f) = 0$
    1. klar
    2. klar
    3. Wir nehmen $ε > 0$ mit $\sum_{i = 1}^{∞} = ε$ und $∀ i ∈ ℕ$ mit $0 < μ(B_i) < ∞$ wählen die Punkte $ξ_i, η_i ∈ B_i$, sodass
@@ -458,7 +458,7 @@
    nicht Riemann-Integral, aber Lebesgue-Integrierbar
    \[∫_0^1 f(x) \d x = 0\]
    Notationen
-   \[∫ f \d μ = ∫ f(x) \d x \text{ falls $μ$ - Lebesgue-Masse ist}\]
+   \[∫ f \d μ = ∫ f(x) \d x \text{ falls \(μ\)- Lebesgue-Masse ist}\]
    #+end_remark
    #+begin_lemma latex
    Das Lebesgue-Integral hat die folgenden Eigenschaften
@@ -532,7 +532,7 @@
    Die Beziehungen
    \[\{x ∈ D \mid f_{inf}(x) > α\} = ∩_k \{x ∈ D \mid f_k(x) > α\}\]
    \[\{x ∈ D \mid f_{sup}(x) > α\} = ∪_k \{x ∈ D \mid f_k(x) > α\}\]
-   und die Eigenschaften der $σ$ -Algebra von $Lμ$ liefert die Messbarkeit von $f_{inf}$ und $f_{sup}$. Aus
+   und die Eigenschaften der \(σ\)-Algebra von $Lμ$ liefert die Messbarkeit von $f_{inf}$ und $f_{sup}$. Aus
    \[f_{liminf} = \sup_k \inf_{i \geq k} f_i(x)\]
    \[f_{limsup} = \inf_k \sup_{i \geq k} f_i(x)\]
    folgt die Messbarkeit von $f_{liminf}, f_{limsup}$