Teorema 0.25

Per ogni $\Large t \geq$ 0,

$$ \Huge P_t = PM^t - Y\ \left(\frac{M^t - 1}{M - 1}\right). $$

DIMOSTRAZIONE.

Base: Dimostriamo che la formula è vera per $\Large t = 0$. Se $\Large t = 0$, allora la formula diventa

$$ \Huge P_0 = PM^0 - Y\ \left(\frac{M^0 - 1}{M - 1}\right) $$

Possiamo semplificare il lato destro osservando che $\Large M^0 = 1$. Quindi otteniamo $\Large P_0 = P$, che è vera perchè abbiamo definito $\Large P_0 = P$ pari a $\Large P$.

Quindi abbiamo dimostrato che la base induttiva è vera.

Passo induttivo: Per ogni $\Large k \geq 0$, assumiamo che la formula sia vera per $\Large t = k$ e dimostriamo che essa è vera per $\Large t = k + 1$.

L'ipotesi induttiva stabilisce che

$$ \Huge P_k = PM^k - Y\ \left(\frac{M^k - 1}{M - 1}\right). $$

Vogliamo dimostrare che

$$ \Huge P_{k + 1} = PM^{k + 1} - Y\ \left(\frac{M^{k + 1} - 1}{M - 1}\right). $$

Lo facciamo con i passi seguenti. Innanzitutto, dalla definizione di $\Large P_{k - 1}$ in termini di $\Large P_k$ , sappiamo che

$$ \Huge P_{k + 1} = P_kM - Y. $$

Quindi, usando l'ipotesi induttiva per calcolare $\Large P_k$,

$$ \Huge P_{k + 1} = \left[PM^k - Y\ \left(\frac{M^k - 1}{M - 1}\right)\right]\ M - Y. $$

Effettuando la moltiplicazione per $\Large M$ e riscrivendo $\Large Y$, otteniamo

$$ \Huge P_{k + 1} = PM^{k + 1} - Y\ \left(\frac{M^{k + 1} - M}{M - 1}\right)\ - Y\ \left(\frac{M - 1}{M - 1}\right) = PM^{k + 1} - Y\ \left(\frac{M^{k + 1} - 1}{M - 1}\right). $$

Quindi la formula è corretta per $\Large t = k + 1$, il che dimostra il teorema.